Cho hình lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) và M, N là hai điểm lần lượt trên cạnh CA, CB sao cho MN song song với AB và \(\frac{CM}{CA}=k\). Mặt phẳng \(\left( MN{B}'{A}' \right)\) chia khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) thành hai phần có thể tích \({{V}_{1}}\) (phần chứa điểm C) và \({{V}_{2}}\) sao cho \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2\). Khi đó giá trị của k là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
+ Vì ba mặt phẳng \((MN{B}'{A}').(AC{C}'{A}'),(BC{C}'{B}')\) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt \({A}'M,{B}'N,C{C}'\) và \({A}'M,C{C}'\) không song song nên \({A}'M,{B}'N,C{C}'\) đồng qui tại S.
Ta có \(k=\frac{CM}{CA}=\frac{MN}{AB}=\frac{MN}{{A}'{B}'}=\frac{SM}{S{A}'}=\frac{SN}{S{B}'}=\frac{SC}{S{C}'}\)
+ Từ đó \({{V}_{S.MNC}}={{k}^{3}}{{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{MNC.{A}'{B}'{C}'}}=\left( 1-{{k}^{3}} \right){{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}\)
+ Mặt khác \(\frac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{{{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}}=\frac{3C{C}'}{S{C}'}=\frac{3\left( S{C}'-SC \right)}{S{C}'}=3\left( 1-k \right)\Rightarrow {{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{3\left( 1-k \right)}\)
Suy ra \({{V}_{1}}=\left( 1-{{k}^{3}} \right)\frac{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{3\left( 1-k \right)}=\frac{\left( {{k}^{2}}+k+1 \right).{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}}{3}\)
+ Vì \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2\) nên \({{V}_{1}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}\Rightarrow \frac{{{k}^{2}}+k+1}{3}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow {{k}^{2}}+k-1=0\Rightarrow k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}(k>0)\)
Vậy \(k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Phùng Khắc Khoan
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AD = CD = a, AB = 2a. Quay hình thang ABCD quanh cạnh AB, thể tích khối tròn xoay thu được là :
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 1} \right)\) và \(B\left( {1;1;3} \right)\). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất là
-
Trong không gian Oxyz, biết mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z + 9 = 0\) tại điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị tổng \(a + b + c\) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật \(AB=a,AD=a\sqrt{2},SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng:
.png)
-
Phần ảo của số phức \(z = - 1 + i\) là
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình \(3f\left( x \right) + 1 = 0\) là
.PNG)
-
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\). Gọi \({d_2}\) là đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;1;2} \right)\). Giá trị của a sao cho đường thẳng \({d_1}\) cắt đường thẳng \({d_2}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn c > 2019, a + b + c - 2018 < 0. Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f(x) - 2019} \right|\) là
-
Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) thỏa mãn OA = 2OB và thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = 2a + b + 3c.
-
Cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 7z + 1 = 0\). Phương trình chính tắc của d là
-
Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình dưới đây
.PNG)
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) để phương trình \({f^2}(x) - (m + 4)\left| {f(x)} \right| + 2m + 4 = 0\) có 6 nghiệm phân biệt
-
Nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{1 - x}}\) là:
-
Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2.
-
Cho hai số thực x,y thay đổi thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\).Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S={{3}^{x+y-4}}+\left( x+y+1 \right){{2}^{7-x-y}}-3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) là \(\frac{a}{b}\) với a,b là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính a+b.
-
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),SA = \sqrt 3 .\) Tam giác ABC đều, cạnh a. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng:
.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=\frac{y-3}{2}\). Một vectơ chỉ phương của d là
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3{\rm{x}} + 2}}\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z - 6 = 0\). Đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
-
Cho không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 1 - 2t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A và song song với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\).
