Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC.\) Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\) ta có \(SO\bot \left( ABCD \right)\)
Gọi \(I\) là trung điểm của OA
\(\Rightarrow MI//SO\Rightarrow MI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\angle MNI={{60}^{0}}\)
Xét \(\Delta NCI\) có \(CN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2};CI=\frac{3}{4}AC=\frac{3\sqrt{2}}{4}a;\angle NCI={{45}^{0}}\)
Suy ra \(NI=\sqrt{C{{N}^{2}}+C{{I}^{2}}-2CN.CI.\cos C}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{18{{a}^{2}}}{16}-2.\frac{a}{2}.\frac{3\sqrt{2}}{4}.a.\cos {{45}^{0}}}=a\frac{\sqrt{10}}{4}.\)
\(MI=NI.\tan {{60}^{0}}=a\frac{\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=a\frac{\sqrt{30}}{2}.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l} BC//\left( {SAD} \right)\\ DM \subset \left( {SAD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow d\left( {BC,DM} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right) = 2h.\)
Xét tứ diện \(\left( SAOD \right)\) có \(SO;OA;OD\) đôi một vuông góc
Nên ta có: \(\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{D}^{2}}}=\frac{2}{15{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{62}{15{{a}^{2}}}\Rightarrow h=a\sqrt{\frac{15}{62}}\)
Do đó \(d\left( BC,DM \right)=2h=2a\sqrt{\frac{15}{62}}=a\sqrt{\frac{30}{31}}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tiên Du 1 lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3\) có giá trị cực tiểu là
-
Hàm số \(y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\) nghịch biến trên khoảng:
-
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( m+3 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+1.\) Có bao nhiêu số thực \(m\) để hàm số đạt cực trị tại \(x=1?\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên tập R và biết \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới
.jpg.png)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(h\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{3}{2}x\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a,AD=a\sqrt{2},\) đường thẳng \(SA\) vuông góc với \(mp\left( ABCD \right).\) Góc giữa \(SC\) và \(mp\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\)
.png)
-
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=\frac{mx-8}{2x-m}.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,AB=a,AC=a\sqrt{3},\) \(SB=a\sqrt{5},SA\bot \left( ABC \right).\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC.\)
-
Cho hàm số \(y=\left| x+\sqrt{16-{{x}^{2}}} \right|+a\) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là \(m,M,\) Biết \(m+M={{a}^{2}}.\) Tìm tích \(P\) tất cả giá trị \(a\) thỏa mãn đề bài.
-
Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2.
-
Tính giới hạn \(I=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}-2}{x-2}\)
-
Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) khi cạnh đáy của hình chóp giảm đi 3 lần và vẫn giữ nguyên chiều cao thì thể tích của khối chóp giảm đi mấy lần:
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sin x+\cot x\)
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=AC=5a;BC=6a.\) Các mặt bên tạo với đáy góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=x\) và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp \(S.ABCD\) đạt giá trị lớn nhất thì \(x\) nhận giá trị nào sau đây?
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y={{x}^{2}}+1\)
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{3}}-x}\) có mấy đường tiệm cận?
-
Chọn kết quả sai trong các kết quả dưới đây:
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(SA=AB=a.\) Góc giữa \(SA\) và \(CD\) là
