Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA=2a và vuông góc với (ABCD) . Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và CM.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi \(O=A C \cap B D\)
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên O là trung điểm của BD mà M là trung điểm của SD nên OM// SB / suy ra SB//(ACM).
Do đó \(d(S B, C M)=d(S B,(A C M))=d(B,(A C M))=d(D,(A C M))\)
Gọi H là trung điểm của AD nên \(M H / / S A \Rightarrow M H \perp(A B C D)\)
\(\Rightarrow d(S B, C M)=d(D,(A C M))=2 d(H,(A C M))\)
Kẻ \(H I \perp A C \Rightarrow(M H I) \perp(M A C)\) theo giao tuyến MI.
Kẻ \(H K \perp M I \Rightarrow H K \perp(A C M)\) hay \(d(H,(A C M))=H K\)
Ta có:
\(H I=\frac{1}{2} O D=\frac{1}{4} B D=\frac{1}{4} \sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\frac{a \sqrt{2}}{4}, M H=\frac{1}{2} S A=a\)
suy ra \(\frac{1}{H K^{2}}=\frac{1}{H M^{2}}+\frac{1}{H I^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{H K^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{\left(\frac{a \sqrt{2}}{4}\right)^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{H K^{2}}=\frac{9}{a^{2}} \Leftrightarrow H K=\frac{a}{3}\)
Vậy \(d(S B, C M)=2 d(H,(A C M))=2 H K=\frac{2 a}{3}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT chuyên Bến Tre lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào ?
-
Cho hàm số\(y=f(x)=x^{4}-5 x^{2}+4\) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng\(x=0, x=2\) (miền phẳng được gạch chéo trong hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn \(\log _{2}(a b)=\log _{4}\left(a b^{4}\right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng \(d: y=-x+m\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{-2 x+1}{x+1}\) tại hai điểm phân biệt A B , sao cho\(A B \leq 2 \sqrt{2}\). Tổng giá trị các phần tử của S bằng
-
Một người gởi vào ngân hàng với lãi suất 7,5% / năm với hình thức lãi kép. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người ấy có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu? Giả định trong suốt thời gian gởi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
-
Cho hàm đa thức bậc bốn y= f(x) có đồ thị như hành vẽ bên dưới. Số nghiệm phương trình \(3 f(x)=2\) là
-
Cho bảng biến thiên của hàm số y =f(x) như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây là sai?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm \(A(2 ;-1 ; 3), B(4 ; 0 ; 1) \text { và } C(-10 ; 5 ; 3)\) Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?
-
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng\(d:\left\{\begin{array}{l} x=2+3 t \\ y=5-4 t,(t \in \mathbb{R}) \\ z=-6+7 t \end{array}\right.\) và điểm A(1;2;3) . Đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
-
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao là h được tính bởi công thức
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{2}(x+1)<\log _{2}(3-x)\) là
-
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(2^{2 x+1}-5 \cdot 2^{x}+2=0\) bằng bao nhiêu?
-
Cho \(\int\limits_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=-3 \text { và } \int\limits_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x=4\). Khi đó \(\int\limits_{1}^{3} f(x)dx\) bằng
-
Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d: \frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{2} ?\)
-
Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) với bảng biên thiên như hình vẽ có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng bằng bao nhiêu?
-
Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hình chữ nhật ABCD có \(A C=2 a \sqrt{2} \text { và } \widehat{A C B}=45^{\circ}\) . Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành hình trụ. Diện tích toàn phần\( S_{tp}\) của hình trụ là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(S A=\frac{\sqrt{2} a}{2}, A B=A C=a\) . Gọi M là trung điểm của BC ( xem hình vẽ ). Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC).
-
Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Một hình vuông ABCD có AB, CD là hai dây cung của hai đường tròn đáy và mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng
-
Tập xác định của hàm số \(y=\left(x^{2}-4 x+3\right)^{-1}\) là
