Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) với \(AD=DC=a,AB=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\)cùng vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,\) dễ thấy \(ADCM\) là hình vuông \(\Rightarrow MC=AM=\frac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow \Delta ACB\) là tam giác vuông tại \(C\)
Gọi \(N\) đối xứng với \(C\) qua \(M\Rightarrow ACBN\) là hình chữ nhật
\(AC//BN\Rightarrow AC//\left( SBN \right)\Rightarrow d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\frac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta SBN}}}.\)
Tính \({{V}_{S.ABN}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABN}}=\frac{1}{6}SA.AN.NB=\frac{1}{6}SA.BC.AC\)
\(SA=AC.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6};BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
Như vậy: \({{V}_{S.ABN}}=\frac{1}{6}.a\sqrt{6}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}\)
Ta có: \(SN=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a\)
Xét \(\Delta SBN\) vuông tại \(N,\left( BN\bot AN;BN\bot SA\Rightarrow BN\bot SN \right)\)
Ta có: \({{S}_{SBN}}=\frac{1}{2}SN.NB=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}a.a\sqrt{2}=2{{a}^{2}}\)
Suy ra \(d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBN \right) \right)=\frac{3{{V}_{S.ABN}}}{{{S}_{\Delta ABN}}}=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}}{2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\},\) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.
.png)
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right)=m\) có 3 nghiệm phân biệt là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Một hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB=1,\) đáy lớn \(CD=3,\) cạnh bên \(BC=AD=\sqrt{2}.\) Cho hình thang \(ABCD\) quay quanh \(AB\) ta được khối nó xoay có thể tích là
-
Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m, cạnh đáy dài 220 m. Hỏi diện tích xung quanh của kim tự tháp là bao nhiêu? (Diện tích xung quanh của hình chóp là tổng diện tích các mặt bên)
-
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x+2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
-
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A=A'B=A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{3}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}.\) Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( \left| x \right| \right)\) là
-
Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ
.jpg.png)
Hàm số \(y=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng
-
Giả sử trong trận chung kết AFF Cup 2018, đội tuyển Việt Nam phải phân định thắng thua trên chấm đá phạt 11 m. Biết xác suất để mỗi cầu thủ Việt Nam thực hiện thành công quả đá 11 m của mình đều là 0,8. Gọi \(P\) là xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho parabol \(\left( P \right):y=-{{x}^{2}}\) và đồ thị hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-2\) có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức \(P=a-3b-5c.\)
.jpg.png)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB=a;BC=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+4-{{x}^{2}} \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\) là \(\left( -\sqrt{a};-\sqrt{b} \right].\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình bên.
.jpg.png)
Đặt \(h\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{{{x}^{2}}}{2}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ \(C\) đến \(BB'\) bằng \(2a,\) khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng \(a\) và \(a\sqrt{3}\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng\(\left( A'B'C' \right)\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \(A'M=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}\left( a+b \right).\) Tính \(\frac{a}{b}.\)
-
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( -x+5 \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},BC=2a,\) đường thẳng \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) một góc \({{30}^{0}}.\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
-
Cho biểu thức \(P=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt[3]{x}}},x>0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
