Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a \ne 0\) có hai hoành độ cực trị là \(x = 1\) và \(x = 3\). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = f\left( m \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
Do hàm số có hoành độ hai điểm cực trị là \({x_1} = 1,{x_2} = 3\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}4 = {x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\3 = {x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 6a\\c = 9a\end{array} \right.\)
Xét phương trình \(f\left( x \right) = f\left( m \right)\) ta được:
\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = a{m^3} + b{m^2} + cm + d\) \( \Leftrightarrow a\left( {{x^3} - {m^3}} \right) + b\left( {{x^2} - {m^2}} \right) + c\left( {x - m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow a\left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 6a\left( {{x^2} - {m^2}} \right) + 9a\left( {x - m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right) - 6\left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) + 9\left( {x - m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + mx + {m^2} - 6x - 6m + 9} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 6} \right)x + {m^2} - 6m + 9} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} + \left( {m - 6} \right)x + {m^2} - 6m + 9 = 0\end{array} \right.\)
Để phương trình \(f\left( x \right) = f\left( m \right)\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} + \left( {m - 6} \right)x + {m^2} - 6m + 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(m\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 6} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m - 6} \right).m + {m^2} - 6m + 9 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 12m > 0\\3{m^2} - 12m + 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 4\\m \ne 1,m \ne 3\end{array} \right.\)
Vậy \(m \in \left( {0;4} \right)\backslash \left\{ {1;3} \right\}\).
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Vũ Văn Hiếu
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là:
-
Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ \(\left( {{H_1}} \right),\,\,\left( {{H_2}} \right)\) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là \({r_1},\,\,{h_1},\,\,{r_2},\,\,{h_2}\) thỏa mãn \({r_2} = \dfrac{1}{2}{r_1},\,\,{h_2} = 2{h_1}\) (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng \(30c{m^3}\) . Tính thể tích khối trụ \(\left( {{H_1}} \right)\) bằng:
.JPG)
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có phương trình là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4x\left( {1 + \ln x} \right)\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương tình là:
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} - 6{x^2} + \left( {4m - 9} \right)x + 4\)nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty - 1} \right)\) là:
-
Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(2a\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
-
Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây ?
-
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 5\), khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
.JPG)
Hàm số \(y = 3f\left( {x + 2} \right) - {x^3} + 3x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
-
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB'. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A' tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B' tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A’MPB’NQ bằng:
-
Xét các số phức z thỏa mãn \(\left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z + 2} \right)\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là:
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \({m^2}\left( {{x^4} - 1} \right) + m\left( {{x^2} - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) \ge 0\) đúng với mọi \(x \in R\). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;3;2} \right)\). Véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là:
-
Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) có đạo hàm:
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây?
.JPG)
-
Đặt \({\log _3}2 = a,\) khi đó \({\log _{16}}27\) bằng
