Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2f\left( {\pi - x} \right) = \left( {x + 1} \right)\sin x,\left( {\forall x \in R} \right)\). Tích phân \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiThay \(x = \pi - x\) ta được
\(f\left( {\pi - x} \right) + 2f\left( x \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin \left( {\pi - x} \right) \Leftrightarrow 2f\left( x \right) - f\left( {\pi - x} \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin x\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) + 2f\left( {\pi - x} \right) = \left( {\pi - x + 1} \right)\sin x\\ 2f\left( x \right) + f\left( {\pi - x} \right) = \left( {x + 1} \right)\sin x \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3f\left( x \right) = \left( {2\pi - 3x + 1} \right)\sin x\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2\pi - 3x + 1}}{3}\sin x\\ \Rightarrow \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{2\pi + 1}}{3}x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^\pi = \frac{{2 + \pi }}{3} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 - 4{\rm{x}}}}{{2{\rm{x}} - 1}}\)
-
Nếu \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)d{\rm{x}}} = - 1\) thì \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} \) bằng
-
Có bai nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({\cos ^3}x + {\left( {m - \sqrt 3 \sin x} \right)^3} - 2\cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + m = 0\) có nghiệm.
-
Cho hai số phức \({z_1} = 3 - i\) và \({z_2} = 1 - 2i\). Tìm số phức \({\rm{w}} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\).
-
Trước kì thi học sinh giỏi, nhà trường tổ chức buổi gặp mặt 10 em học sinh trong đội tuyển. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ được ngồi một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau.
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {\left| {2f\left( x \right) + m} \right|} \right) = 1\) có đúng 2 nghiệm trên [-1;1]?
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0) và B(2;1;2). Phương trình tham số của đường thẳng AB là
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'.
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và điểm A(-2;1;0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa d.
-
Cho hai số phức z = 3 - 5i và w = - 1 + 2i. Điểm biểu diễn số phức \(z' = \overline z - {\rm{w}}.z\) trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là
-
Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
-
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? Biết \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow v = \left( {0;2; - 1} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
-
Số phức \(z = a + bi,\left( {a,b \in R} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\left( {1 + 2i} \right)z - 8 - i = 0\). Tính S = a + b.
-
Cho \(I = \int {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}d{\rm{x}}} \). Khi đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) thì ta có
-
Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos x + x là
-
Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 bạn vào một cái bàn ngang có 8 ghế?
-
Cho số phức z = 1 - 2i, điểm M biểu diễn số phức \(\overline z \) trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là
-
Cho khối nón và khối trụ có cùng chiều cao và cùng bán kính đường tròn đáy. Gọi \({V_1};{\rm{ }}{V_2}\) lần lượt là thể tích của khối nón và khối trụ. Biểu thức \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) có giá trị bằng.
-
Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn \({5^{{x^2}}} = {5^x}\)?
