Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 2\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy\). Giá trị của \(M + m\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {2 - xy} \right) - 3xy\)
Đặt \(t = x + y \Rightarrow {t^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 2 + 2xy \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\).
Vì \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {t^2} \ge 2\left( {{t^2} - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 2\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = 2t\left( {2 - \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) - 3\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\\P = 4t - 4{t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 3\\P = - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3 = f\left( t \right)\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3\) trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) ta có \(f'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ { - 2;2} \right]\\t = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{{13}}{2} = \max P;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = - 7 = \min P \Rightarrow M + m = \dfrac{{13}}{2} - 7 = - \dfrac{1}{2}\).
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Tính tổng \(C_{2000}^0 + 2C_{2000}^1 + 3C_{2000}^2 + ... + 2001C_{2000}^{2000}\)?
-
Cho hình chóp S.ABC có \(SA = 1;\,\,SB = 2;\,\,SC = 3\) và \(\widehat {ASB} = {60^0};\,\,\widehat {BSC} = {120^0};\,\,\widehat {CSA} = {90^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD’, DB sao cho \(AM = DN = x\,\,\left( {0 < x < a\sqrt 2 } \right)\). Khi x thay đổi, đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
-
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
-
Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Biết \(SA = 3a;\,\,SB = 4a;\,\,SC = 5a\). Tính theo a thể tích V của khối tứ diện S.ABC.
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) . Gọi M điểm bất kì thuộc đồ \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại M cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm P và Q. Gọi G là trọng tâm tam giác IPQ (với I là giao điểm hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\)). Diện tích tam giác GPQ là:
-
Giá trị của m làm cho phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2mx + m + 3 = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt là:
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q và \({u_1} > 0\). Điều kiện của q để cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có ba số hạng liên tiếp là độ dài ba cạnh của một tam giác là:
-
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 5\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho đường thẳng \(d:\,\,2x - y + 1 = 0\). Để phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \) biến đường thẳng d thành chính nó thi \(\overrightarrow v \) phải là véc tơ nào sau đây:
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x^2 - 2\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\)biết tiếp tuyến có hệ số góc \(k = - 9?\)
-
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 2x - {\tan ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;70} \right]\).
-
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2x + 5\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Trong các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là
-
Cho khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) có thể tích bằng \(2018\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Mặt phẳng \((MB'D')\) chia khối hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) thành hai khối đa diện. Tính thể tích của phần khối đa diện chứa đỉnh \(A\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và \(SA = 2a\). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC?
-
Cho hình chóp S.ABC có A’, B’ lần lượt là trung điểm của \(SA, SB\). Gọi \({V_1},\,\,{V_2}\) lần lượt là hể tích của khối chóp \(S.A’B’C\) và S.ABC. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số ở dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
.JPG)
