Cho các số thực x y , thỏa mãn \(0 \leq x, y \leq 1 \text { và } \log _{3}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)+(x+1)(y+1)-2=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của P với \(P=2 x+y\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\log _{3}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)+(x+1)(y+1)-2=0 \Leftrightarrow \log _{3}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)+x y+x+y-1=0\)
\(\Leftrightarrow \log _{3}(x+y)+x+y=\log _{3}(1-x y)+1-x y\)
Xét hàm đặc trưng \(f(t)=\log _{3} t+t \text { với } t>0\)
\(f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 3}+1>0, \forall t>0\)
suy ra hàm số f(t) đồng biến với \(t>0\)
Vậy:
\(f(x+y)=f(1-x y) \Leftrightarrow x+y=1-x y \Leftrightarrow x(y+1)=1-y \Leftrightarrow x=\frac{1-y}{y+1}\)
Ta có:
\(P=2 x+y=\frac{2-2 y}{y+1}+y=-3+\frac{4}{y+1}+y+1 \geq-3+2 \sqrt{\frac{4}{y+1}(y+1)}=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT chuyên Bến Tre lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA=2a và vuông góc với (ABCD) . Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và CM.
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{5}{x-1}\) là đường thẳng có phương trình
-
Cho hình hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D'\) có các cạnh bằng 2a . Biết \(\widehat{B A D}=60^{\circ}, \widehat{A^{\prime} A B}=\widehat{A^{\prime} A D}=120^{\circ}\) Tính thể tích V của khối hộp \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\)
-
Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn \(\log _{2}(a b)=\log _{4}\left(a b^{4}\right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Thể tích V của khối nón có chiều cao \(h = 6 \)và bán kính đáy \(R = 4 \)là :
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng \(d: y=-x+m\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{-2 x+1}{x+1}\) tại hai điểm phân biệt A B , sao cho\(A B \leq 2 \sqrt{2}\). Tổng giá trị các phần tử của S bằng
-
Cho hình chữ nhật ABCD có \(A C=2 a \sqrt{2} \text { và } \widehat{A C B}=45^{\circ}\) . Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành hình trụ. Diện tích toàn phần\( S_{tp}\) của hình trụ là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{2}(x+1)<\log _{2}(3-x)\) là
-
Cho hàm đa thức bậc bốn y= f(x) có đồ thị như hành vẽ bên dưới. Số nghiệm phương trình \(3 f(x)=2\) là
-
Cho số phức z thỏa mãn \((3+2 i) z+(2-i)^{2}=4+i\). Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(S A=\frac{\sqrt{2} a}{2}, A B=A C=a\) . Gọi M là trung điểm của BC ( xem hình vẽ ). Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC).
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu f'(x) như sau
Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón ( N) . Diện tích xung quanh \(S_{x q}\)của hình nón (N) là
-
Đội học sinh giỏi trường trung học phổ thông chuyên bến tre gồm có 8 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Xác suất để trong 8 học sinh được chọn có đủ 3 khối là
-
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn cho số phức z .
Ký hiệu\(\bar z\) là số phức liên hợp của z . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y=\left|x^{4}-2 x^{3}+x^{2}+a\right|\) . Có bao nhiêu số thực \(a \text { để } \min\limits _{[1 ; 2]} y+\max\limits _{[1 ; 2]} y=10 ?\)
-
Một mặt cầu có đường kính bằng a có diện tích S bằng bao nhiêu?
-
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng\(d:\left\{\begin{array}{l} x=2+3 t \\ y=5-4 t,(t \in \mathbb{R}) \\ z=-6+7 t \end{array}\right.\) và điểm A(1;2;3) . Đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và \(S A \perp(A B C)\), SA=3a . Thể tích của khối chóp S.ABCD là
