Cho các số thực $a, b, c$ thỏa ${\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right).$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{a + 2b + 3c}}{{a + b + c}}$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 2018 để phương trình ${e^{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}  - \sqrt {x + \frac{1}{x} + m} }} = \frac{{{x^3} + m{x^2} + x}}{{{x^4} + 1}}$ có nghiệm thực dương?

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng $2a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $30^0$. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

Cho hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x + {m^2} + 2m\,\,\left( C \right)$. Khi tham số thực m thay đổi nhận thấy đồ thị (C) luôn tiếp xúc với một parabol cố định (P). Gọi tọa độ đỉnh của parabol (P) là $I\left( {{x_I};{y_I}} \right).$ Khi đó giá trị $T = {x_I} - 2{y_I}$ là

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x {{\rm{e}}^x}$, trục hoành và đường thẳng x = 1 là:

Cho hàm số $g\left( x \right) = {x^2} + 1$ và hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1.$ Tìm m để phương trình $f\left[ {g\left( x \right)} \right] - m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau. Phát biểu nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của A' xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC'A') tạo với đáy góc $45^0$. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :{\rm{ }}x--2y + 7 = 0$ là:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn [0;10] và $\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7}$ và $\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3}$. Tính $P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} }$.

Biết rằng $\int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos xdx}  = a{e^\pi } + b$ trong đó $a,b \in Q$. Tính $P=a+b$

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2=-2$ và $u_5=54$ Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

Kí hiệu $z_1, z_2, z_3, z_4$ là bốn nghiệm của phương trình ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$. Tính $S = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh C(- 2;2;2) và trọng tâm G(- 1;1;2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC, biết A thuộc mặt phẳng (Oxy) và điểm B thuộc trục Oz

Tìm m để hàm số $y = \frac{{\left( {m + 3} \right)x + 4}}{{x + m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $2a$ và có các mặt bên đều là hình vuông. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Cho hình vuông ABCD cạnh $a$ trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3, BC = 4, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết SA = 4. Gọi M, N lần lượt là chiều cao của A lên cạnh SB và SC. Thể tích khối tứ diện AMNC là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn [- 2;4] như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ trên đoạn [- 2;4].

Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z - 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|$ và $\left| {z - 3 - 3i} \right| = 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {z - 2} \right|$