Biết phương trình \({\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\) có một nghiệm dạng \(x = a + b\sqrt 2 \) trong đó a, b là các số nguyên. Tính T = 2a + b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _2}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\)
Điều kiện xác định: x > 1.
\((1) \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _3}2\sqrt x = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 2{\log _3}\left( {t - 1} \right)\) với t > 1
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 5}} + \frac{2}{{\left( {t - 1} \right)\ln 3}} > 0\) với t > 1 suy ra f(t) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Từ (*) ta có \(f\left( {2\sqrt x + 1} \right) = f\left( x \right)\) nên suy ra \(2\sqrt x + 1 = x \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} - 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 + \sqrt 2 \) ( do x > 1)
Suy ra \(x = 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow a = 3;b = 2 \Rightarrow 2a + b = 8.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Thị Hồng Gấm
Câu hỏi liên quan
-
Số phức z thỏa mãn \(\overline z = 1 - 2i\) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm nào sau?
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 6,\,\int\limits_0^1 {\left( {2x - 2} \right)f'\left( x \right)dx} = 6\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) có giá trị bằng
-
Số phức liên hợp của số phức z = 6 - 4i là
-
Cho a, b, c, d là các số thực dương, khác 1 bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.PNG)
-
Một hình trụ có bán kính r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy h = 7cm. Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Diện tích thiết diện tạo thành là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oxy) là điểm M có tọa độ
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 3i,\,{z_2} = 3 - 4i\). Môđun của số phức \(\omega = {z_1} + {z_2}\) bằng
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình sau:
.PNG)
Hỏi hàm số y = f(|x|) có bao nhiêu cực trị?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 2018;2018} \right)\) để hàm số \(y = \frac{{2x - 6}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\)?
-
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Từ 5 chữ số này ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) \le 3\) là
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) có các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là
-
Cho khối chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại C, CA = a, (SAB) vuông góc với (ABC) và diện tích tam giác SAB bằng \(\frac{{{a^2}}}{2}\). Tính độ dài đường cao SH của khối chóp S.ABC.
-
Tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{2018}}\left( {2x - 1} \right)\)
-
Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 2; - 3} \right),B\left( { - 1;4;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\). Mặt phẳng (P) vuông góc với (d) có véc – tơ pháp tuyến là
-
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng l = 2a và chiều cao bằng \(h = a\sqrt 3 .\) Thể tích khối nón đã cho
-
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 5\) và trục hoành
