Biết phương trình \({\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\) có một nghiệm dạng \(x = a + b\sqrt 2 \) trong đó a, b là các số nguyên. Tính T = 2a + b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _2}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\)
Điều kiện xác định: x > 1.
\((1) \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _3}2\sqrt x = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 2{\log _3}\left( {t - 1} \right)\) với t > 1
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 5}} + \frac{2}{{\left( {t - 1} \right)\ln 3}} > 0\) với t > 1 suy ra f(t) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Từ (*) ta có \(f\left( {2\sqrt x + 1} \right) = f\left( x \right)\) nên suy ra \(2\sqrt x + 1 = x \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} - 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 + \sqrt 2 \) ( do x > 1)
Suy ra \(x = 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow a = 3;b = 2 \Rightarrow 2a + b = 8.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Lê Thị Hồng Gấm
Câu hỏi liên quan
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên [1; 2] bằng 2. Số phần tử của tập S là
-
Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\) và \({z_2} = - 4 - 5i\). Tìm số phức \(z = {z_1} + {z_2}\).
-
Cho khối chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại C, CA = a, (SAB) vuông góc với (ABC) và diện tích tam giác SAB bằng \(\frac{{{a^2}}}{2}\). Tính độ dài đường cao SH của khối chóp S.ABC.
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
-
Cho một hình chữ nhật có đường chéo có độ dài 5, một cạnh có độ dài 3. Quay hình chữ nhật đó (kể cả các điểm bên trong) quanh trục chứa cạnh có độ dài lớn hơn, ta thu được một khối trụ có thể tích là
-
Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(S(t) = A.{e^{rt}}\), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S(t) là số lượng vi khuẩn có sau t phút, r là tỷ lệ tăng trưởng (r > 0), t ( tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con?
-
Phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 2\) có nghiệm là
-
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {x + 1} }}dx} \). Viết dạng của I khi đặt \(t = \sqrt {x + 1} \).
-
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 năm và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{2x - 1}} > 27\) là
-
Một hình trụ có bán kính r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy h = 7cm. Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Diện tích thiết diện tạo thành là
-
Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu là u1 = 15 và công sai d = -2. Số hạng thứ 8 của cấp số cộng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\). Mặt phẳng (P) vuông góc với (d) có véc – tơ pháp tuyến là
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC' bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
-
Tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{2018}}\left( {2x - 1} \right)\)
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;-2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (Oxy) là điểm M có tọa độ
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 3i,\,{z_2} = 3 - 4i\). Môđun của số phức \(\omega = {z_1} + {z_2}\) bằng
-
Đồ thị trong hình bên là của hàm số y = f(x), S là diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình). Chọn khẳng định đúng.
.png)
-
Số phức liên hợp của số phức z = 6 - 4i là
-
Cho hàm số \(y = \sqrt {x + \frac{1}{x}} \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng
