Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC' bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?

A. 8

B. \(8\sqrt 2 \)

C. \(16\sqrt 2 \)

D. \(24\sqrt 3 \)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Gọi độ dài AB = a, BC = b, AA' = c.

Khi đó theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l} ab + bc + ca = 18\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 36 \end{array} \right.\)

Suy ra \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 72.\)

Hay \(a + b + c = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow b + c = 6\sqrt 2 - a.\)

Ta có: \({b^2} + {c^2} + {a^2} = 36 \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2} - 2bc + {a^2} = 36\)

Hay \({\left( {6\sqrt 2 - a} \right)^2} - 2bc + {a^2} = 36 \Rightarrow bc = \frac{{{{\left( {6\sqrt 2 - a} \right)}^2} + {a^2} - 36}}{2}\).

Từ đó ta có \(V = abc = a.\frac{{{{\left( {6\sqrt 2 - a} \right)}^2} + {a^2} - 36}}{2} = \frac{{2{a^3} - 12\sqrt 2 {a^2} + 36a}}{2}\)

Không mất tổng quát, giả sử \(a = \max \left\{ {a,b,c} \right\}\), khi đó \(6\sqrt 2 = a + b + c \le 3a \Rightarrow a \ge 2\sqrt 2 \).

Lại có \(36 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2} + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} = {a^2} + \frac{{{{\left( {6\sqrt 2 - a} \right)}^2}}}{2} \Rightarrow 3{a^2} - 12\sqrt 2 a \le 0 \Rightarrow a \le 4\sqrt 2 \).

Xét hàm số \(f\left( a \right) = \frac{{2{a^3} - 12\sqrt 2 {a^2} + 36a}}{2}\) với \(a \in [2\sqrt 2 ;4\sqrt 2 {\rm{]}}\).

Ta có \(f'\left( a \right) = \frac{{6{a^2} - 24\sqrt 2 a + 36}}{2},f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = \sqrt 2 \left( L \right)\\ a = 3\sqrt 2 \left( N \right) \end{array} \right.\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 4\sqrt 2 \\ f\left( {3\sqrt 2 } \right) = 0\\ f\left( {4\sqrt 2 } \right) = 8\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \({V_{\max }} = 8\sqrt 2 \) khi \(a = 4\sqrt 2 ,b = c = \sqrt 2 .\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài