Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}} = a\sqrt 5 + b\sqrt 2 + c\) với \(a, b, c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a + b + c\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = t \Rightarrow {x^2} + 1 = {t^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xdx = tdt\\
{x^2} = {t^2} - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dx = \frac{t}{x}dt\\
{x^2} = {t^2} - 1
\end{array} \right.\)
Đổi cận: Với \(x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 5 \)
Do đó \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{{x^3}}}{{t - 1}}\frac{t}{x}dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{{x^2}.t}}{{t - 1}}dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{\left( {{t^2} - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\frac{{\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt} \)
\( = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} + t} \right)dt} = \left. {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{{t^2}}}{2}} \right|_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } = \frac{5}{3}\sqrt 5 + \frac{5}{2} - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - 1 = \frac{5}{3}\sqrt 3 - \frac{2}{3}\sqrt 2 + \frac{3}{2}\)
nên \(a = \frac{5}{3};b = - \frac{2}{3};c = \frac{3}{2} \Rightarrow P = a + b + c = \frac{5}{2}\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Sở GD & ĐT Bạc Liêu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + {e^x}\) là
-
Hàm số \(y = {\left( {4 - x} \right)^{\frac{1}{5}}}\) có tập xác định là
-
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
-
Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \({x^9} + 3{x^3} - 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}}\) có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của S.
-
Cho lăng trụ đều ABC.EFH có tất cả các cạnh bằng a. Gọi S là điểm đối xứng của A qua BH. Thể tích khối đa diện ABCSFH bằng
-
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) đồng biến trên R?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và hai điểm A(-1;2;-3); B(5;2;3). Gọi M là điểm thay đổi trên mặt cầu (S). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(2M{A^2} + M{B^2}\).
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 4 = 0\). Khi đó mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
-
Cho hình H là đa giác đều có 24 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của H. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải hình vuông.
-
Cho a là số thực dương bất kì khác 1. Tính \(S = {\log _a}\left( {{a^3}\sqrt[4]{a}} \right)\).
-
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x - y\).
-
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f(1)=1, f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \), với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; còn để pha chế 1 lít nước táo, cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm và mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm. Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế sao cho tổng điểm đạt được là lớn nhất. Tính \(T = 2{x^2} + {y^2}\).
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{4x - 1}}\) có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
-
Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2}\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?
-
Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 và bán kính đáy bằng 3. Thể tích khối trụ đã cho bằng
-
Đường cong trong hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?
.png)
-
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + 10\) trên đoạn [ - 3;3] là:
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( { - 4;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z + 4 = 0\). Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
