Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x - y\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge \). ĐK \(x > y;x > - y \Rightarrow x > 0;x > y\).
Suy ra \({\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} \ge {y^2} + 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \) (vì x > 0)
Lại có \(P = 2x - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - \left| y \right|\)
Đặt \(t = \left| y \right| \ge 0\)
Xét \(f\left( t \right) = 2\sqrt {{t^2} + 4} - t\) có \(f'\left( t \right) = 2\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 4} }} - 1 = 0 \Rightarrow 2t = \sqrt {{t^2} + 4} \Rightarrow 3{t^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {tm} \right)\\
t = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\)
BBT của \(f(t)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
.PNG)
Từ BBT suy ra \(\min f\left( t \right) = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Suy ra \(P \ge 2\sqrt 3 \) hay GTNN của P là \(2\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{4}{{\sqrt 3 }};y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\\
x = \frac{2}{{\sqrt 3 }};y = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Sở GD & ĐT Bạc Liêu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0\) và điểm \(I\left( { - 1;2; - 1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5.
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 6 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\sqrt 3 \). Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng
-
Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m\), với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là
.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( { - 4;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z + 4 = 0\). Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
-
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h được tính bởi công thức
-
Hàm số \(y = {\left( {4 - x} \right)^{\frac{1}{5}}}\) có tập xác định là
-
Cho đồ thị \(y=f(x)\) như hình vẽ sau đây. Biết rằng \(\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = a\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = b\). Tính diện tích S của phần hình phẳng được tô đậm.
.png)
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{4x - 1}}\) có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
-
Đường cong trong hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?
.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 4 = 0\). Khi đó mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là
-
Cho cấp số cộng có \({u_1} = - 3;{u_{10}} = 24\). Tìm công sai d?
-
Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bốn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện tích \(S_1, S_2\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \(S_3, S_4\) dùng để trồng cỏ.
Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1m2 kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/ m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 6 \). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 và bán kính đáy bằng 3. Thể tích khối trụ đã cho bằng
-
Cho hình H là đa giác đều có 24 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của H. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải hình vuông.
-
Cho hình chóp S.ABCD đều có AB = 2 và \(SA = 3\sqrt 2 \). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
-
Cho lăng trụ đều ABC.EFH có tất cả các cạnh bằng a. Gọi S là điểm đối xứng của A qua BH. Thể tích khối đa diện ABCSFH bằng
-
Biết bất phương trình \({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn [a;b]. Giá trị của \(a+b\) bằng
