Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) nghịch biến trên một khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ : \(D = \mathbb{R}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + m\end{array}\)
Phương trình \(f'\left( x \right)\) có hệ số \({x^2}\) dương nên để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có khoảng nghịch biến thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó
Khi đó phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}\end{array} \right.\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\)
Để khoảng nghịch biến có độ dài không nhỏ hơn 1 nên \({x_2} - {x_1} \ge 1\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}{x_2} - {x_1} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \ge 1\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} - 4\dfrac{m}{3} \ge 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4m}}{3} \le 3 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}\left( {t/m} \right)\end{array}\)
Chọn C