Tìm hệ số của số hạng chứa \({{\rm{x}}^{26}}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{{\rm{x}}^7}} \right)^n}\) biết rằng: \(C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} = {2^{20}} - 1\) (n nguyên dương)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} = {2^{20}} - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{20}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{2^{2n + 1}}}}{2} = {2^{20}}\\ \Rightarrow n = 10\end{array}\)
Khi đó \({\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k \to 0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k}.{\left( {2{x^7}} \right)^{10 - k}}\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} - 2{x^7}} \right)^n} = \sum {C_{10}^k{{.2}^{10 - k}}.{x^{70 - 11k}}} \)
Số hạng chứa \({x^{26}}\) là \(70 - 11k = 26 \Rightarrow k = 4\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^{26}}\) là \(C_{10}^4{.2^{10 - 4}} = 13440\)
Chọn A.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Võ Văn Kiệt
