Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H (1;2;3) là trực tâm của tam giác ABC với A, B, C là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy ,Oz (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A ,B ,C là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} Giả \,\,sử\,\, A(a;0;0);B(0;b;0); C(0;0;c)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {1 - a;2;3} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {1;2 - b;3} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)\\ Do H\, là\, trực\,tâm\,nên\,ta\,có:\\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AH} \overrightarrow {BC} = 0\\ \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b + 3c = 0\\ - a + 3c = 0 \end{array} \right. \end{array}\)
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Mà \(H \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 3c = 0\\ - a + 3c = 0\\ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 14\\ b = 7\\ c = \frac{{14}}{3} \end{array} \right.\)
Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C có dạng:
\(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)