Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – 4z = 0\), đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;\,\,3;\,\,1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,1} \right)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \). Tính a + 2b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Đường thẳng d đi qua \(M\left( {1;\,\, – 1;\,\,3} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\, – 1;\,\,1} \right)\).
Nhận xét rằng, \(A \notin d\) và \(d \cap \left( P \right) = I\left( { – 7;\,\,3;\,\, – 1} \right)\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và song song với \(\Delta \). Khi đó \(d\left( {\Delta ,d} \right) = d\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\).
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên \(\left( Q \right)\) và d. Ta có \(AH \le AK\).
Do đó, \(d\left( {\Delta ,d} \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow A{H_{\max }} \Leftrightarrow H \equiv K\). Suy ra AH chính là đoạn vuông góc chung của d và \(\Delta .\)
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]= \left( { – 2;\,\,4;\,\,8} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa d và vuông góc với \(\left( R \right)\) nên có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {12;\,\,18;\,\, – 6} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) chứa trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} } \right] = \left( {66;\,\, – 42;\,\,6} \right) = 6\left( {11;\,\, – 7;\,\,1} \right)\).
Suy ra, \(a = 11;\,\,b = – 7\). Vậy \(a + 2b = – 3\).
