Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình lần lượt
\(d:{\mkern 1mu} x = 1 + 2t,{\mkern 1mu} y = 2 - t,{\mkern 1mu} z = 3t.\). Tìm tọa độ điểm K đối xứng với điểm I(2;−1;3) qua đường thẳng d.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt phẳng qua I vuông góc với d có phương
\(\begin{array}{l} 2(x - 2) - 1(y + 1) + 3(z - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 14 = 0(1). \end{array}\)
Gọi H là hình chiếu của II trên đường thẳng d.
Thay x,y,z từ phương trình của dd vào (1) ta có:
\(\begin{array}{l} 2\left( {1 + 2t} \right) - \left( {2 - t} \right) + 3\left( {3t} \right) - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1.\\ \Rightarrow H(3;1;3). \end{array}\)
H là trung điểm của IK nên
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_K} = 2{x_H} - {x_I} = 4\\ {y_K} = 2{y_H} - {y_I} = 3\\ {z_K} = 2{z_H} - {z_I} = 3. \end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm K là K(4;3;3)