Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2;0;0), M (1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Giả sử } B(0 ; b ; 0) ; C(0 ; 0 ; c) \text { với }(b, c>0) \text { . }\\ &\text { Phương trình mặt phẳng }(P) \text { đi qua } 3 \text { điểm } A, B, C \text { là: } \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do } M(1 ; 1 ; 1) \in(P) \Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow b+c=\frac{b c}{2} . \\ &\text { Ta có: } \overrightarrow{A B}=(-2 ; b ; 0), \overrightarrow{A C}=(-2 ; 0 ; c) . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Diện tích tam giác } A B C \text { là: } S_{A B C}=\frac{1}{2}|\lceil\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|=\frac{1}{2} \sqrt{b^{2} c^{2}+4\left(b^{2}+c^{2}\right)} \text { . }\\ &\text { Mặt khác, }\left(\frac{b+c}{2}\right)^{2} \geq b c \Leftrightarrow\left(\frac{b c}{4}\right)^{2}-b c \geq 0 \Rightarrow b c \geq 16 ; b^{2}+c^{2} \geq 2 b c \geq 32 \text { . }\\ &\text { Do đó, } S_{A B C} \geq \frac{1}{2} \sqrt{16^{2}+4.32} \Leftrightarrow S_{A B C} \geq 4 \sqrt{6} \text { . Vậy } S_{A B C \text { min }}=4 \sqrt{6} \text { . } \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Với giá trị nào của m và n thì ba mặt phẳng sau cắt nhau tại điểm A(1;2;-2): \(\left( P \right):mx + 2y + \left( {n + 1} \right)z - 3 = 0;\,\,\,\,\left( Q \right):x + \left( {m + 1} \right)y - nz + 4 = 0;\,\,\,\,\left( R \right):4nx - my + 2mz - 6 = 0\)
-
Cho ba điểm A(3; 2; -2) ,B (1; 0;1) và C (2; -1;3) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc BC .
-
Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 4y + 4z + 5 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): 4x - 3y - 8 = 0 và (Q): 8x - 6y - 1 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
-
Xác định vị trí tương đối của \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=2+2t \\ {} z=-2t \\ \end{array} \right.;{{d}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=3+2u \\ {} y=6+4u \\ {} z=-4-4u \\ \end{array} \right.\)
-
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 4y + 2z - 5 = 0\). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) đối xứng với (P) qua điểm A(3;-2;1).
-
Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) biết \((\alpha )\) đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\overrightarrow n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến.
-
Trong không gian Oxyz cho điểm \(G(1 ; 2 ; 3)\). Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua G , cắt \(O x, O y, O z\) tại A,B ,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là
-
Cho hai điểm A(1;2;-1) và B(-1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M.
-
Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có pháp vectơ \(\overrightarrow n = \left( {\,A,\,\,B,\,\,C\,} \right)\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x + 1)2 + (y − 4)2 + (z + 3)2 = 36. Số mặt phẳng (P) chứa trục Ox và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:
-
Cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0\) và điểm \(A\left( { - 6, - 1,3} \right)\). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).
-
Khoảng cách từ điểm M (2;-1;-1) đến mặt phẳng \((P): 3 x+2 y-z+2=0\) bằng:
-
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh cạnh bên vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \( \frac{{{a^3}}}{4}\) Tính cạnh bên
-
Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau vuông góc:
d1: x = 1 - t, y = 1 + 2t, z = 3 + at, d2: x = a + at, y = -1 + t, z = -2 + 2t
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 7 = 0, (Q): 2x - y - 2z + 1 = 0. Biết rằng mặt cầu (S) tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Hỏi diện tích của mặt cầu (S) là bao nhiêu?
-
Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào có đúng một phần tử?
-
Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài 25cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 6 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (P) chứa hai điểm A(1; 0; 1) , B (-1; 2; 2) và song song với trục Ox có phương trình là
-
Cho hai điểm di động \(A\left( {m,m - 1,m} \right);B\left( {3m,m - 3,m - 2} \right)\). Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB là mặt phẳng:
