Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2;0;0), M (1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Giả sử } B(0 ; b ; 0) ; C(0 ; 0 ; c) \text { với }(b, c>0) \text { . }\\ &\text { Phương trình mặt phẳng }(P) \text { đi qua } 3 \text { điểm } A, B, C \text { là: } \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do } M(1 ; 1 ; 1) \in(P) \Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow b+c=\frac{b c}{2} . \\ &\text { Ta có: } \overrightarrow{A B}=(-2 ; b ; 0), \overrightarrow{A C}=(-2 ; 0 ; c) . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Diện tích tam giác } A B C \text { là: } S_{A B C}=\frac{1}{2}|\lceil\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|=\frac{1}{2} \sqrt{b^{2} c^{2}+4\left(b^{2}+c^{2}\right)} \text { . }\\ &\text { Mặt khác, }\left(\frac{b+c}{2}\right)^{2} \geq b c \Leftrightarrow\left(\frac{b c}{4}\right)^{2}-b c \geq 0 \Rightarrow b c \geq 16 ; b^{2}+c^{2} \geq 2 b c \geq 32 \text { . }\\ &\text { Do đó, } S_{A B C} \geq \frac{1}{2} \sqrt{16^{2}+4.32} \Leftrightarrow S_{A B C} \geq 4 \sqrt{6} \text { . Vậy } S_{A B C \text { min }}=4 \sqrt{6} \text { . } \end{aligned}\)
