Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) có phương trình lần lượt là \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25;({S_2}):{x^2} + {y^2} + {(z – 1)^2} = 4.\) Một đường thẳng d vuông góc với véc tơ \(\overrightarrow u = (1; – 1;0)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8. Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của d?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHai mặt cầu (S1),(S2) có tâm lần lượt là là gốc toạ độ O, điểm I(0;0;1) và bán kính lần lượt là
\({R_1} = 5;\,{R_2} = 2\).
Gọi A là tiếp điểm của d và (S2), ta có IA = R2 = 2.
Vì d cắt \(\left( {{S_1}} \right)\) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 nên
\(d(O;d) = \sqrt {R_1^2 – {{\left( {\frac{8}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {25 – 16} = 3.\)
Vì \(d \bot \overrightarrow u \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = (1;1;x),\) ta có:
\(OI + IA \ge OA \ge d(O,d) \to 1 + 2 \ge OA \ge 3 \Rightarrow O,I,A\) thẳng hàng.
\(\overrightarrow {OA} = \frac{{OA}}{{OI}}\overrightarrow {OI} = 3\overrightarrow {OI} = (0;0;3) \Rightarrow A(0;0;3).\)
Do đó \(d(O;d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,{{\overrightarrow u }_d}} \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = 3 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = (1;1;0).\)
