Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {2;3;3} \right)\), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là \(\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\), phương trình đường phân giác trong góc C là \(\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 4}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\). Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong góc C.
\( \Rightarrow {d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 – t}\\{y = 3 + 2t}\\{z = 2 – t}\end{array}} \right.\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t’}\\{y = 4 – t’}\\{z = 2 – t’}\end{array}} \right.\)
Gọi M là trung điểm \(AC \Rightarrow M \in {d_1} \Rightarrow M\left( {3 – t;3 + 2t;2 – t} \right)\).
Vì \(C \in {d_2} \Rightarrow C\left( {2 + 2t’;4 – t’;2 – t’} \right)\). Mà vì M là trung điểm AC \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + 2t’ = 2(3 – t) – 2}\\{4 – t’ = 2(3 + 2t) – 3}\\{2 – t’ = 2(2 – t) – 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + 2t’ = 4 – 2t}\\{4 – t’ = 3 + 4t}\\{2 – t’ = 1 – 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t’ = 1}\end{array}} \right.\) .
\( \Rightarrow M\left( {3;3;2} \right)\) và \(C\left( {4;3;1} \right)\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với \({d_2}\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {2; – 1; – 1} \right) \Rightarrow \left( P \right):2.(x – 2) – (y – 3) – (z – 3) = 0 \Leftrightarrow 2x – y – z + 2 = 0\).
Gọi N là điểm đối xứng với A qua \({d_2} \Rightarrow N \in \left( {BC} \right)\) và \(N \in \left( P \right)\)
Gọi I là trung điểm của AN \( \Rightarrow I = {d_2} \cap \left( P \right) \Rightarrow I = \left( {2;4;2} \right) \Rightarrow N\left( {2;5;1} \right)\).
Dễ thấy \(N \in {d_1}\) khi t = 1 \( \Rightarrow N \equiv B\)
Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(2;3;3)}\\{B(2;5;1)}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; – 1} \right)\)
