Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 3;\,0;\,1} \right), B\left( {1;\, – 1;\,3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + 2z – 5 = 0\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua A, song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;\,b;\,c} \right)\). Khi đó \(\frac{b}{c}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\left( { – 3;\,0;\,1} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; – 2;\,2} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):x – 2y + 2z + 1 = 0\).
Vì đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(d \subset \left( Q \right)\).
Gọi \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của B lên đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Khi đó \(d\left( {B,\left( d \right)} \right) = BH \ge BK\). Suy ra \(d{\left( {B,d} \right)_{\min }} = BK \Leftrightarrow H \equiv K\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\, – 2;\,2} \right)\)
Phương trình tham số \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = – 1 – 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\). Lấy \(H\left( {1 + t;\, – 1 – 2t;\,3 + 2t} \right) \in \Delta \).
Vì \(H \in \left( Q \right)\) nên \(\left( {1 + t} \right) – 2\left( { – 1 – 2t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{{10}}{9}\).
Suy ra \(H\left( { – \frac{1}{9};\,\frac{{11}}{9};\frac{7}{9}} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{26}}{9};\,\frac{{11}}{9};\, – \frac{2}{9}} \right) = \frac{{26}}{9}\left( {1;\,\frac{{11}}{{26}}; – \frac{2}{{26}}} \right)\).
Suy ra một vec tơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;\frac{{11}}{{26}}; – \frac{2}{{26}}} \right) \Rightarrow b = \frac{{11}}{{26}},\,c = – \frac{2}{{26}}\).
Vậy \(\frac{b}{c} = – \frac{{11}}{2}\).
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x+1)2+(y-2)2+(z-1)2 = 9. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1\,;3\,;2} \right),B\left( {2\,; – 1\,;5} \right),C\left( {3\,;2\,; – 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\,,B\,,C\) có phương trình là?
-
Trong không gian Oxyz, cho , có độ dài lần lượt là 1 và 2. Biết \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 3\) khi đó góc giữa 2 vectơ \(\vec a, \vec b\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng \(d: \frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{3}\) đi qua những điểm nào sau đây?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc-tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow v = \left( { - 5;1;1} \right)\). Khẳng định nào đúng?
-
Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,2;\, – 5} \right),\,B\left( {2;\,3;\, – 7} \right)\)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; -1), B(3; -5; 2). Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
-
Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m, góc \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaecaaeaaca % WGbbGaam4uaiaadkeaaiaawkWaaiabg2da9iaaigdacaaI1aGaeyiS % aalaaa!3D86! \widehat {ASB} = 15^\circ \) bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqaiaadw % eacaWGgbGaam4raiaadIeacaWGjbGaamOsaiaadUeacaWGmbGaam4u % aaaa!3DFE! AEFGHIJKLS\) . Trong đó điểm L cố định và LS = 40m. Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?
.png)
-
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(6;4;3) đến trục Ox bằng
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình làx²+y²+z²-2x-4y-6z+5 = 0. Tính diện tích mặt cầu (S).
-
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+3}{2} .\) Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = 2 . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng (SMC) vuông góc với mặt phẳng (SNC) . Thể tích khối chóp S.AMCN đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{1}\) . Tìm hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oxy).
-
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {3;\,1;\,1} \right)\), nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y – z – 3 = 0\) và tạo với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 + 3t\\z = – 3 – 2t\end{array} \right.\) một góc nhỏ nhất thì phương trình của \(\Delta \) là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y – z + 3 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + y + z – 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có phương trình chính tắc là?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2z−7=0, mặt phẳng (P):4x+3y+m = 0. Giá trị của m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {4;\,1; – \,2} \right)\). Tọa độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là
-
Tính tích có hướng của cặp vectơ sau: \(\overrightarrow{a}=\left( 3;1;-1 \right);\overrightarrow{b}=\left( 2;1;-2 \right).\)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I(2 ; 3 ;-6) và bán kính R=4 có phương trình là
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: \(A\,(1;0;1);\,\,B\,(-1;1;2);\,C\,(-1;1;0);\,\,D\,(2;-1;-2)\). Tính thể tích tứ diện ABCD.
