Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {1;2;0} \right)\) và \(M\left( { – 1;3;4} \right)\). Gọi d là đường thẳng qua B vuông góc với AB đồng thời cách M một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d có dạng \(\overrightarrow u \left( {2;a;b} \right)\). Tính tổng a + b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(d \bot AB\) nên d nằm trong mặt phẳng (P) qua B và vuông góc \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; – 3} \right)\)
Có phương trình: \(0\left( {x – 1} \right) + 0\left( {y – 2} \right) – 3\left( {z – 0} \right) = 0\)
hay \(\left( P \right):z = 0 \Rightarrow \left( P \right)\) trùng \(\left( {xOy} \right)\)
Khoảng cách từ \(M\left( { – 1;3;4} \right)\) đến \(\left( P \right)\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left( d \right)\) đi qua H là hình chiếu của \(M\left( { – 1;3;4} \right)\) xuống \(\left( {xOy} \right) \Rightarrow H\left( { – 1;3;0} \right)\)
Vậy \(\left( d \right)\) có vtcp là \(\overrightarrow {BH} = \left( { – 2;1;0} \right)\)
Gt cho \(\left( d \right)\) có vtcp dạng \(\overrightarrow u \left( {2;a;b} \right){\rm{//}} – \left( {2; – 1;0} \right)\)
\( \Rightarrow a = – 1,\,\,b = 0 \Rightarrow a + b = – 1 \Rightarrow C\)