Tìm tham số m để hàm số \(y=\frac{\sin x+4}{\sin x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Đặt } t=\sin x, x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \text { suy ra } t \in(0 ; 1)\\ \text { Hàm số trở thành } y=\frac{t+4}{t+m} \Rightarrow y_{x}^{\prime}=t_{x}^{\prime} \cdot y_{t}^{\prime}=\cos x \cdot \frac{m-4}{(t+m)^{2}}\\ \text { Ta có: } x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \text { suy ra } \cos x>0 \end{array}\)
\(\text { Do đó: để hàm số nghịch biến trên khoảng }\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow y_{x}<0, \forall x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow y_{t}<0, \forall t \in(0 ; 1)\)
\(\Leftrightarrow \frac{m-4}{(t+m)^{2}}<0, \forall t \in(0 ; 1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m-4<0 \\ {\left[\begin{array}{l} -m \leq 0 \\ -m \geq 1 \end{array}\right.} \end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<4 \\ {\left[\begin{array}{l} m \geq 0 \\ m \leq-1 \end{array}\right.} \end{array}\right.\)
\(\text { Vậy } m \in(-\infty ;-1] \cup[0 ; 4) \text { . }\)