Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2 x-1-\sqrt{x^{2}+x+3}}{x^{2}-5 x+6}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=\mathbb{R} \backslash\{2 ; 3\}\)
Ta có:
\(\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{2 x-1-\sqrt{x^{2}+x+3}}{x^{2}-5 x+6}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{(2 x-1)^{2}-\left(x^{2}+x+3\right)}{\left(x^{2}-5 x+6\right)(2 x-1+\sqrt{x^{2}+x+3})}\\ =\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{(2 x-1)^{2}-\left(x^{2}+x+3\right)}{\left(x^{2}-5 x+6\right)(2 x-1+\sqrt{x^{2}+x+3})}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{(3 x+1)}{(x-3)(2 x-1+\sqrt{x^{2}+x+3})}=-\frac{7}{6}\)
Tương tự \(\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{2 x-1-\sqrt{x^{2}+x+3}}{x^{2}-5 x+6}=-\frac{7}{6}\)
Vậy x=2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim\limits _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{2 x-1-\sqrt{x^{2}+x+3}}{x^{2}-5 x+6}=+\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{2 x-1-\sqrt{x^{2}+x+3}}{x^{2}-5 x+6}=-\infty\) nên x=3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.