Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \({{\log }_{3}}(1-{{x}^{2}})+{{\log }_{\frac{1}{3}}}(x+m-4)=0\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({\log _3}(1 - {x^2}) + {\log _{\frac{1}{3}}}(x + m - 4) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2} > 0\\ {\log _3}(1 - {x^2}) = {\log _3}(x + m - 4) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left( { - 1;1} \right)\\ 1 - {x^2} = x + m - 4 \end{array} \right.\)
Yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+m-5=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\in \left( -1;1 \right)\)
Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình \(f\left( x \right)=0\) có hai nghiệm thỏa: \(-1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a.f\left( { - 1} \right) > 0\\ a.f\left( 1 \right) > 0\\ \Delta > 0\\ - 1 < \frac{S}{2} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 5 > 0\\ m - 3 > 0\\ 21 - 4m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}\)
