Cho các phương trình:
\({{x}^{2017}}+{{x}^{2016}}+...+x-1=0\left( 1 \right)\)
\({{x}^{2018}}+{{x}^{2017}}+...+x-1=0\left( 2 \right)\)
Biết rằng phương trình (1),(2) có nghiệm duy nhất lần lượt là \(a\) và \)b\). Mệnh đề nào sau đây đúng.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2017}}+{{x}^{2016}}+...+x-1\) trên nửa khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\) ta có:
\(f\left( x \right)=2017{{x}^{2016}}+2016{{x}^{2015}}+...+1>0,\forall x\ge 0\) nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\)
Mặt khác \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right)=-2016<0\Rightarrow f\left( x \right)=0\) có nghiệm duy nhất \(a\in \left( 0;1 \right)\).
Chứng minh tương tự với hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{2018}}+{{x}^{2017}}+...+x-1\) thì \(g\left( x \right)=0\) có nghiệm dương duy nhất \(b\in \left( 0;1 \right)\).
Ta có \(g\left( a \right)={{a}^{2018}}+f\left( a \right)={{a}^{2018}}>0=g\left( b \right)\Rightarrow a>b\Rightarrow a.{{e}^{a}}>b.{{e}^{b}}\).
Để so sánh \(a.{{e}^{b}}\) và \(b.{{e}^{a}}\) ta xét hiệu \(a.{{e}^{b}}-b.{{e}^{a}}=ab\left( \frac{{{e}^{b}}}{b}-\frac{{{e}^{a}}}{a} \right)=ab\left( h\left( b \right)-h\left( a \right) \right)>0\).
Trong đó \(h\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x},0<x<1\), ta có \(h'\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}.x-{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}<0\Rightarrow h\left( a \right)<h\left( b \right)\).
Vậy \(a.{{e}^{b}}>b.{{e}^{a}}\)
