Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{2}{3} x^{3}-m x^{2}-2\left(3 m^{2}-1\right) x+\frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho \(x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)=1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y^{\prime}=2 x^{2}-2 m x-2\left(3 m^{2}-1\right)=2\left(x^{2}-m x-3 m^{2}+1\right)\)
\(g(x)=x^{2}-m x-3 m^{2}+1\) có \(\Delta=13 m^{2}-4\)
Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow g(x)\)có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m>\frac{2 \sqrt{13}}{13} \\ m<-\frac{2 \sqrt{13}}{13} \end{array}\right.(1)\)
\(x_1; x_2\) là các nghiệm của g(x) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1} x_{2}=-3 m^{2}+1 \end{array}\right.\).
Do đó \(x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)=1 \Leftrightarrow-3 m^{2}+2 m+1=1 \Leftrightarrow-3 m^{2}+2 m=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=0 \\ m=\frac{2}{3} \end{array}\right.\)
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ \(m=\frac{2}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm độ dài khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 – 4?
-
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f’\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x – 1} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Hàm số \(y=x^{3}-3 x^{2}+m x-2\) đạt cực tiểu tại x = 2 khi?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} – 4x + 3} \right) – 3{\left( {x – 2} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^4}\) là
-
Hàm số nào dưới đây có cực trị?
-
Biết hàm số y = x3 – 3x + 1 có hai điểm cực trị x1; x2 . Tính tổng x12 + x22.
-
Cho hàm số \(y=x^{3}-6 x^{2}+4 x-7 . \) . Gọi hoành độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(x_{1}, x_{2}\) . Khi đó, giá trị của tổng \(x_{1}+x_{2}\) là:
-
x = 2 không phải là điểm cực đại của hàm số nào sau đây?
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)}^{2022}{\left( {x + 2} \right)}.x{\left( {x - 1} \right)^2}\). Điểm cực đại của hàm số là
-
Hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} + 2\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Hàm số y = x – sin 2x đạt cực đại tại các điểm nào cho dưới đây?
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 1\) là:
-
Điểm cực trị của hàm số \(y=-x^{3}+3 x^{2}-4\) là
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x + 1} \right)\left( { - x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Khẳng định nào sau đây sai?
-
Điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=\sqrt{1+4 x-x^{4}}\) có tọa độ là:
-
Cho hàm số \( y = mx⁴ + (2m +1)x² +1\) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu.
