Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{2}{3} x^{3}-m x^{2}-2\left(3 m^{2}-1\right) x+\frac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho \(x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)=1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y^{\prime}=2 x^{2}-2 m x-2\left(3 m^{2}-1\right)=2\left(x^{2}-m x-3 m^{2}+1\right)\)
\(g(x)=x^{2}-m x-3 m^{2}+1\) có \(\Delta=13 m^{2}-4\)
Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow g(x)\)có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m>\frac{2 \sqrt{13}}{13} \\ m<-\frac{2 \sqrt{13}}{13} \end{array}\right.(1)\)
\(x_1; x_2\) là các nghiệm của g(x) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1} x_{2}=-3 m^{2}+1 \end{array}\right.\).
Do đó \(x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)=1 \Leftrightarrow-3 m^{2}+2 m+1=1 \Leftrightarrow-3 m^{2}+2 m=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=0 \\ m=\frac{2}{3} \end{array}\right.\)
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ \(m=\frac{2}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên và \(f\left( 0 \right) = 0;f\left( 4 \right) > 4\). Biết hàm \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) – 2x} \right|\).
.jpg.png)
-
Số điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x4 + 100 là:
-
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm \( f'(x) = x³ (x + 1)\). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f (x).
-
Khẳng định nào là đúng trong các khẳng định sau
-
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y=m x^{4}+\left(m^{2}-4 m+3\right) x^{2}+2 m-1\) có ba điểm cực trị
-
Hàm số y = cosx đạt cực trị tại những điểm
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = \left( { - x + 2} \right){\left( {x + 1} \right)^4}\left( {x - 3} \right)\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - {{\rm{x}}^4} + \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} - 2\) là
-
Điểm cực tiểu \(y = - {x^4} + {x^2} + 3\) của hàm số là:
-
Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=(m+2) x^{3}+3 x^{2}+m x-6\) có hai cực trị?
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{{\rm{x}}^4} - {{\rm{x}}^2} + 3\) là
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}m{x^2} + 2mx - 3m + 4\) nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) như sau:
Kết luận nào sau đây đúng
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = - \left( {3x + 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {x + 4} \right)\). Điểm cực đại của hàm số là
-
Hàm số \(y=x^{3}-3 x^{2}+m x-2\) đạt cực tiểu tại x = 2 khi?
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên.
Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Số điểm cực trị của hàm số \(y = {\left( {x – 1} \right)^{2023}}\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Khi đó hàm số đã cho có
-
Cho hàm số y = f( x) có đạo hàm liên tục trên R, hàm số y = f’ (x-2) có đồ thị hàm số như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số y= f( x) là :
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}\) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x
