Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\( {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} + \frac{{{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = 3.\)
Ta có
\( \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = \frac{{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^x}}} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}}.\)
khi đó phương trình tương đương với \( {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - x}} = 3.\)
Đặt: \( {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right)\) , khi đó phương trình trở thành
\(t + \frac{1}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\ {t_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\ {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1}} \end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 1\\ {x_2} = - 1 \end{array} \right. \to {x_1}{x_2} = - 1\)
