Phương trình \(\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\) có bao nhiêu nghiệm?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\displaystyle 1 + {3^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^x} = {2^x}\\
\Leftrightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^x} = {2^x}
\end{array}\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(2^x\) ta được:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{2^x}}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^x}}}{{{2^x}}} = 1\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x} = 1
\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\) có
\(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\) với mọi \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\)
vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} < 0\) và \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0\)
Do đó hàm số \(\displaystyle f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Mà \(\displaystyle f\left( 2 \right) = 1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(\displaystyle x = 2\).
Câu hỏi liên quan
-
Biết rằng phương trình \(\begin{aligned} \log _{3}^{2} \mathrm{x}=\log _{3} \frac{\mathrm{x}^{4}}{3} \end{aligned}\) có hai nghiệm a và b . Khi đó ab bằng
-
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô màu) là
.png)
-
Số nghiệm của phương trình \(\log _{4}\left(\log _{2} x\right)+\log _{2}\left(\log _{4} x\right)=2\) là
-
Số nghiệm của phương trình \(2^{x^{2}-x}-2^{2+x-x^{2}}=3\) là
-
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc [- 2020;2020) ] sao cho phương trình \( {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{{.2}^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0}\) có bốn nghiệm phân biệt?
-
Cho phương trình \(3^x = m +1\). Chọn phát biểu đúng
-
Phương trình \(3^{3+3 x}+3^{3-3 x}+3^{4+x}+3^{4-x}=10^{3}\) có tổng các nghiệm là?
-
Phương trình \(\displaystyle {2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}\) có nghiệm là:
-
Giả sử \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là một nghiệm của phương trình \({{4}^{x-1}}+{{2}^{x}}.\sin \left( {{2}^{x-1}}+y-1 \right)+2={{2}^{x}}+2.\sin \left( {{2}^{x-1}}+y-1 \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \(\displaystyle \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}\).
-
Phương trình \(\log _{2}(3 x-2)=3\) có nghiệm là:
-
Giải phương trình \(\ln \left(x^{2}-1\right)=\ln x\)
-
T là tập nghiệm của phương trình \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x – 1} \right) = 1\):
-
Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = {t^2} + 3t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m/{s^2}} \right)\). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 20s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét?
-
Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(\log _{\sqrt{2}}(x-1)=\log _{2}(m x-8)\) có hai nghiệm thực phân biệt là:
-
Phương trình\(5^{x}+25^{1-x}=6\) có tích các nghiệm là :
-
\(\text { Tìm số nghiệm của phương trình } \log _{3}(9-\sqrt{x-1})=\log _{2}\left(x^{2}-2 x+5\right) \text { . }\)
-
Tập nghiệm của phương trình \(\begin{aligned} \log _{3}\left(x^{2}-x+3\right)=1 \end{aligned}\) là
-
Tập nghiệm S của phương trình \(\begin{aligned} &\left(\frac{4}{7}\right)^{x}\left(\frac{7}{4}\right)^{3 x-1}-\frac{16}{49}=0 \end{aligned}\) là
-
Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình \({{3}^{x}}+3=m.\sqrt{{{9}^{x}}+1}\) (1) có đúng 1 nghiệm.
