Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định khoảng cách đó.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới bài toán này, ta cần xác định OA để góc \( \widehat {BOC}\) lớn nhất. Điều này xảy ra ⇔ \( \tan \widehat {BOC}\) lớn nhất.
Đặt OA=x(m) với x>0. Ta có:
\(\begin{array}{l} \tan \widehat {BOC} = \tan \left( {\widehat {AOC} - \widehat {AOB}} \right) = \frac{{\tan \widehat {AOC} - \tan \widehat {AOB}}}{{1 + \tan \widehat {AOC}.tan\widehat {AOB}}}\\ = \frac{{\frac{{AC}}{{OA}} - \frac{{AB}}{{OA}}}}{{1 + \frac{{AC.AB}}{{O{A^2}}}}} = \frac{{\frac{{1,4}}{x}}}{{1 + \frac{{3,2.1,8}}{{{x^2}}}}} = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}. \end{array}\)
Xét hàm số \( f\left( x \right) = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}\) trên (0;+∞), có:
\(f\prime (x) = \frac{{ - 1,4{x^2} + 1,4.5,76}}{{{{({x^1} + 5,76)}^2}}};f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {x^2} = 5,76 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2,4\)
Tính các giá trị
\( f\left( 0 \right) = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( {2,4} \right) = \frac{7}{{24}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \,\infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = 0\) suy ra \( \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \,\infty } \right)} {\mkern 1mu} f\left( x \right) = \frac{7}{{24}}.\)
Vậy khoảng cách OA cần tìm là 2,4m.