Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{sinx}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sin x}}dx = } \int {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \\ = \int {\frac{{\sin x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int {\frac{{ - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - 1}}dx} \end{array}\)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow dt = - \sin xdx\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l} \int {\frac{{ - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - 1}}dx} = \int {\frac{1}{{{t^2} - 1}}} dt\\ = \int {\left( {\frac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {t + 1} \right)}}} \right)dt} \\ = \frac{1}{2}\ln \left| {t - 1} \right| - \frac{1}{2}\ln \left| {t + 1} \right| + C\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| + C = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{\cos x - 1}}{{\cos x + 1}}} \right| + C\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}} \right| + C\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {{{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right| + C\\ = \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| \end{array}\)
