Giải các phương trình sau: \( {x^{{{\log }_2}9}} = {x^2}{.3^{{{\log }_2}x}} - {x^{{{\log }_2}3}};\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện x > 0. Áp dụng công thức \(
{a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\) , ta có
\(
{9^{{{\log }_2}x}} = {x^2}{.3^{{{\log }_2}x}} - {3^{{{\log }_2}x}}(1)\)
Chia hai vế của (1) cho \( {3^{{{\log }_2}x}}\) ta có
\( {3^{{{\log }_2}x}} = {x^2} - 1\)
Đặt \( {\log _2}x = t \to x = {2^t}\) dẫn đến phương trình
\( {3^t} = {4^t} - 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} = 1\) (2)
Vế trái của (2) là hàm nghịch biến (vì các cơ số \( \frac{3}{4} < 1;\frac{1}{4} < 1\)), còn về vế phải của (2) là hằng số, nên phương trình có nghiệm duy nhất t=1 . Suy ra x=2