Cho tích phân $\mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{cosx + 2}}d{\rm{x}} = a\ln 5 + b\ln 2$ với a,b ∈Z.  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0 ;+\infty)$ thỏa mãn f(1)=2 và $x\left(f^{\prime}(x)-x\right)=f(x)-1, \forall x>0$. Giá trị của f(e) bằng?

Cho $\int_{0}^{1} f(2 x+1) \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{~d} x=3 . \text { Tính } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x$

Giá trị của tích phân: $I=\int\limits_{0}^{4} \frac{x+1}{(1+\sqrt{1+2 x})^{2}} d x$ là
 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên ℝ và $f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x$. Tính $I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x$

Biết rằng $\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = 1$, khi đó giá trị của a là:

Cho $\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5, \int\limits_2^{ – 1} {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$. Khi đó $\int\limits_{ – 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$ bằng

Cho $\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3$ . Tính tích phân $I=\int_{-2}^{1}[2 f(x)-1] \mathrm{d} x$

Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường$y=\mathrm{e}^{x}, y=0, x=-1, x=1$ Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình (H ) quay quanh trục hoành bằng
 

Tích phân $I=\int_{2}^{3} \frac{a^{2} x^{2}+2 x}{a x} d x$ có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

Cho $\int_{0}^{a} x e^{x} \mathrm{d} x=1(a \in \mathbb{R})$. tìm a

Giá trị của a để $\begin{equation} \int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathrm{d} x=\ln a \end{equation}$ là:

Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2{x^3} + 7{x^2} + 3x - 1}}{{2x + 1}}dx$

Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện $f(1)=2, f(x) \neq 0, \forall x>0 \text { và }\left(x^{2}+1\right)^{2} f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\left(x^{2}-1\right)$
 với mọi x > 0 . Giá trị của f (2) bằng 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y\; = \;\sqrt x \; - \;x$ và trục hoành.

Nếu $\displaystyle  \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx}  = 5,\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx}  = 2$ với $\displaystyle  a < d < b$ thì $\displaystyle  \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ bằng

Giá trị của tích phân $I=\int_{e}^{e^{2}}\left(\frac{1+x+x^{2}}{x}\right) d x=a$ . Biểu thức P=a-1 có giá trị là

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}$với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tổng $a+b$ bằng

 Cho $\int_{0}^{3} \frac{x}{4+2 \sqrt{x+1}} \mathrm{d} x=\frac{a}{3}+b \ln 2+c \ln 3 \text { với } a, b, c$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b+c$ bằng:

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 {\left( {x + 1} \right)^2}dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a, f(2017) = b, $\left( {a;\;b \in R} \right)$. Giá trị $I = \mathop \smallint \nolimits_{2017}^{2016} 2015f'\left( x \right).{f^{2014}}\left( x \right)dx$ bằng: