Cho hàm số: \(y = {x^3} + 2m{x^2} + 3(m – 1)x + 2\) có đồ thị (C). Đường thẳng d:y = – x + 2 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt \(A\left( {0; – 2} \right),{\rm{ }}B\) và C. Với M(3;1), giá trị của tham số m để tam giác MBC có diện tích bằng \(2\sqrt 7 \) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm
\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + 3(m – 1)x + 2 = – x + 2 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + 3(m – 1)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + 3(m – 1) = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\end{array}\)
Đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \(0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 3m + 3 > 0\\m – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall m \in \mathbb{R}\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 1\).
Khi đó ta có: \(C({x_1}; – {x_1} + 2),B({x_2}; – {x_2} + 2)\) trong đó \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (1), nên theo Viet thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 2m\\{x_1}{x_2} = 3m – 3\end{array} \right.\)
Vậy
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CB} = ({x_2} – {x_1}; – {x_2} + {x_1}) \Rightarrow CB = \sqrt {2{{({x_2} – {x_1})}^2}} = \sqrt {8({m^2} – 3m + 3)} \\d(M;(d)) = \frac{{\left| { – 3 – 1 + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \end{array}\)
Diện tích tam giác MBC bằng \(2\sqrt 7 \) khi và chỉ khi
\(\frac{1}{2}\sqrt {8({m^2} – 3m + 3)} .\sqrt 2 = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow {m^2} – 3m + 3 = 7$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 4\end{array} \right.\) ( thỏa \(m \ne 1\))
Vậy chọn \(m = – 1 \vee m = 4\)