Cho hàm số y=f(x). Hàm số y =f'(x)có đồ thị như hình bên.
Hàm số \(g(x)=f\left(x^{2}+2 x\right)-x^{2}-2 x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có: } g(x)=f\left(x^{2}+2 x\right)-x^{2}-2 x \\ \Rightarrow g^{\prime}(x)=(2 x+2) f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)-2 x-2=2(x+1)\left[f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)-1\right] \\ \Rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 2(x+1)\left[f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)-1\right]=0 \Leftrightarrow x=-1, x=-1+\sqrt{2}, x=-1-\sqrt{2} \end{array}\)
Xét \(g^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll} \left\{\begin{array}{l} x+1>0 \\ f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)>1 \end{array}\right.\,\,\,(I) \\ \left\{\begin{array}{l} x+1<0 \\ f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)<1 \end{array}\right.\,\,\,(II) \end{array}\right.\)
Xét sự tương giao của đồ thị hàm số \(y=f^{\prime}(x) \text { và } y=1\).
Dựa vào đồ thị ta có: \(f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)>1 \Leftrightarrow x^{2}+2 x>1 \text { và } f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)<1 \Leftrightarrow x^{2}+2 x<1\)
Xét hệ (I): \(\left\{\begin{array}{l} x+1>0 \\ f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)>1 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x>-1 \\ x^{2}+2 x>1 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 1\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > - 1 + \sqrt 2 }\\ {x < - 1 - \sqrt 2 } \end{array}} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x > - 1 + \sqrt 2 \)
Xét hệ (II): \(\left\{\begin{array}{l} x+1<0 \\ f^{\prime}\left(x^{2}+2 x\right)<1 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x<-1 \\ x^{2}+2 x<1 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x<-1 \\ -1-\sqrt{2}<x<-1+\sqrt{2} \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow-1-\sqrt{2}<x<-1\)
Vậy hàm số g (x) đồng biến trên khoảng \((-1-\sqrt{2} ;-1) \text { và }(-1+\sqrt{2} ;+\infty)\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - m}}{{x - 1}}\) (m khác 1)
Chọn câu trả lời đúng
-
Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số \(y=f\left(x^{2}\right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{x^{3}}{3}+m x^{2}-m x-m\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ?
-
Với giá trị nào của m thì hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng (1;+∞)
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình \(\sqrt {\left( {1 + 2x} \right)\left( {3 - m} \right)} \; > \;m + 2{x^2} - 5x - 3\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{ - 1}}{2};}3
\end{array}} \right]\)? -
Cho hàm số \(y=\frac{m x+9}{x+m}\) ( m là tham số thực). Tính tổng S các giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; 1) ?\)
-
Cho hàm số \(y=-x^{3}-m x^{2}+(4 m+9) x+5\) (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R ?
-
Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau
Hàm số \(y=(f(x))^{3}-3(f(x))^{2}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f(x)=\frac{x+m^{2}}{x+3 m+4}\)đồng biến trên khoảng (-10;5)?
-
Cho hàm số \(y=\frac{\ln x-6}{\ln x-2 m}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên không âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ; e)\). Tìm tổng các phần tử của S .
-
Hàm số \(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 5\) nghịch biến trên các khoảng:
-
Cho hàm số \(f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình sau.
Hàm số \(g(x)=3 f(1-2 x)+8 x^{3}-21 x^{2}+6 x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Hỏi hàm số \(y=\frac{x^{2}-3 x+5}{x+1}\) nghịch biến trên các khoảng nào ?
-
Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 3x + 7. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Hàm số y = -x ⁴ + 4x ² - 2 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây ?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx – \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\)
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=2 x^{3}-3(m+2) x^{2}+6(m+1) x-3 m+5\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ?
-
Cho hàm số f(x)có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số \(y=6 f(x-1)-2 x^{3}+3 x^{2}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3+mx^2–mx–m \) đồng biến trên R, giá trị nhỏ nhất của m là?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^{3}+2 m x^{2}-x+2\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{2} ; 5\right)\)
