Cho hai số thực dương \(x, y \neq 1\) thỏa mãn \(\log _{x} y=\log _{y} x \text { và } \log _{x}(x-y)=\log _{y}(x+y)\). Tính giá trị biểu thức \(S=x^{4}-x^{2}+1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Điều kiện: }\left\{\begin{array}{l} x, y \neq 1 \\ x>y>0 \end{array}\right. \text { . Ta có: }\)
\(\begin{aligned} &\log _{x} y=\log _{y} x \Leftrightarrow \log _{x} y=\frac{1}{\log _{x} y} \Leftrightarrow\left(\log _{x} y\right)^{2}=1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \log _{x} y=1(\mathrm{~L}) \\ \log _{x} y=-1(\mathrm{TM}) \end{array} \Leftrightarrow y=x^{-1} \Leftrightarrow y=\frac{1}{x} .\right. \\ &\text { Ta có: } \log _{x}(x-y)=\log _{y}(x+y) \Leftrightarrow \log _{x}\left(x-\frac{1}{x}\right)=-\log _{x}\left(x+\frac{1}{x}\right) \Leftrightarrow \log _{x}\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)=0 \\ &\Leftrightarrow x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=1 \Leftrightarrow x^{4}-x^{2}-1=0 \text { . Vậy } S=x^{4}-x^{2}+1=1+1=2 \end{aligned}\)
