Cho hai số thực a , b thay đổi thỏa mãn \(a>b > 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\left(\log _{a} b^{2}\right)^{2}+6\left(\log _{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^{2}\) là \(m+\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{p}\) với m, n , p là các số nguyên. Tính \(\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\log _{a} b^{2}=2 \log _{a} b\)
\(\log _{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{1}{2} \log _{\frac{\sqrt{b}}{a}} \frac{b}{a}=\frac{1}{2} \frac{\log _{a} \frac{b}{a}}{\log _{a} \frac{\sqrt{b}}{a}}=\frac{\log _{a} b-1}{2\left(\frac{1}{2} \log _{a} b-1\right)}=\frac{\log _{a} b-1}{\log _{a} b-2}\)
Đặt \(t=\log _{a} b(0<t<1) \text { với mọi } a>b>1\)
Vì vậy \(S=f(t)=4 t^{2}+6\left(\frac{t-1}{t-2}\right)^{2} \geq \min\limits _{(0,1)} f(t)=f\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)=2(1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})\)
Vậy \(m=2, n=16, p=-32 \Rightarrow T=-14\)