Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=-2-t \\ {} z=-2 \\ \end{array} \right.,\left( P \right):x+y+z+1=0\). Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) tại \(M\left( 1;0;-2 \right)\) và cắt d tại A, B sao cho \(AB=2\sqrt{2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng d đi qua \(E\left( 1;-2;-2 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;-1;0 \right)\).
Gọi I là tâm mặt cầu suy ra đường thẳng \(IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM:\left\{ \begin{array} {} x=1+t \\ {} y=t \\ {} z=-2+t \\ \end{array} \right.\).
Khi đó gọi \(I\left( 1+t;t;-2+t \right)\)
\(\Rightarrow {{d}^{2}}\left( I;d \right)+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}\left( I;d \right)+2=I{{M}^{2}}\)
Trong đó \(d\left( I;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IE};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\left| \left( -t;-t;2t+2 \right) \right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6{{t}^{2}}+8t+4}}{\sqrt{2}}\)và \(I{{M}^{2}}=3{{t}^{2}}\)
Suy ra \(3{{t}^{2}}+4t+2+2=3{{t}^{2}}\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow I\left( 0;-1;-3 \right);R=IM=\sqrt{3}\).
Phương trình mặt cầu (S) là: \({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=3\)
