Cho a,b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol y=ax2 và đường thẳng y = −bx. Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc và giá trị của a và b nếu a và b thỏa mãn điều kiện sau
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=ax2 và đồ thị hàm số y=−bx là nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l} a{x^2} = - bx\\ \Leftrightarrow a{x^2} + bx = 0\\ \Leftrightarrow x(ax + b) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{b}{a} \end{array} \right. \end{array}\)
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành
\(\begin{array}{l} \pi \smallint _{ - \frac{b}{a}}^0{( - bx)^2}dx - \pi \smallint _{ - \frac{b}{a}}^0{(a{x^2})^2}dx\\ \pi {b^2}.\frac{{{x^3}}}{3}\mid _{ - \frac{b}{a}}^0 - \pi .{a^2}.\frac{{{x^5}}}{5}\mid _{ - \frac{b}{a}}^0 = \frac{\pi }{3}.\frac{{{b^5}}}{{{a^3}}} - \frac{\pi }{5}.\frac{{{b^5}}}{{{a^3}}} = \frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}.\frac{{2\pi }}{{15}} \end{array}\)