Cho 0<a<1<b, a b>1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức\(P=\log _{a} a b+\frac{4}{\left(1-\log _{a} b\right) \cdot \log _{\frac{a}{b}} a b}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(0<a<1<b, \quad a b>\) nên suy ra \(\log _{a} b<0\) .
Mặt khác ta có \(\log _{b} a b>0\Leftrightarrow \log _{b} a+1>0 \Leftrightarrow \frac{1+\log _{a} b}{\log _{b} b}>0 \Rightarrow \log _{a} b+1<0\)
Ta có \(P=\log _{a} a b+\frac{4}{\left(1-\log _{a} b\right) \cdot \log _{\frac{a}{b}} a b}=1+\log _{a} b+\frac{4}{\left(1-\log _{a} b\right)\left(\log _{a b^{-1}} a+\log _{a b^{-1}} b\right)}\) .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : \(-P=\left(-1-\log _{a} b\right)+\frac{4}{-1-\log _{a} b} \geq 4\) .
Suy ra \(P \leq-4\).
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow 1+\log _{a} b=-2 \Leftrightarrow \log _{a} b=-3 \Leftrightarrow a^{3} b=1\)