Nghiệm của phương trình \({{\sin }^{3}}x+3{{\cos }^{3}}x+\sin x=0\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x + \sin x = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x + 2{\cos ^3}x - \cos x + \cos x + \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x - \sin x\cos x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) + 2{\cos ^3}x - \cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x + 1} \right) + \cos x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2 - \sin x\cos x} \right) + \cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2 - \sin x\cos x} \right) + \cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2 - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x - \sin x\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2 - \sin 2x + {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {2 - \sin 2x + \frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {5 - 2\sin 2x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5 - 2\sin 2x + \cos 2x = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin x = - \cos x \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Chọn B.
