Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là \(\Delta ABC\) với \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Qua \(A\) kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\) (1)
\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AA' \bot BC\) (2)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BC \bot \left( {AHA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'H\)
Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\\A'H \bot BC,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)}\) \( = \widehat {A'H,AH} = \widehat {A'HA} = 45^\circ \)
Do đó tam giác \(A'HA\) vuông cân tại \(A\)
Tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,AC = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \) nên ta có :
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2\cos BAC.AB.AC} = \sqrt 7 a\)
\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin BAC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)
Do đó \(AH = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\)
Tam giác \(AHA'\) vuông cân tại \(A\) nên \(AA' = AH = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}\)
Do đó, thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}\)
Chọn D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Mai Thúc Loan
Câu hỏi liên quan
-
Với \(a,b\) là hai số thực dương và \(a \ne 1\), \({\log _{\sqrt a }}\left( {a\sqrt b } \right)\) bằng
-
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) là
-
Số điểm cực trị của hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 4{x^2} + 3\) là
-
Một doanh nghiệp sản xuất và bán một loại sản phẩm với giá 45 (ngàn đồng) mỗi sản phẩm, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 60 sản phẩm mỗi tháng. Doanh nghiệp dự định tăng giá bạn và họ ước tính rằng nếu tăng 2 (ngàn đồng) trong giá bán thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 6 sản phẩm. Biết rằng chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 27 (ngàn đồng). Hỏi doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá nào để lợi nhuận thu được lớn nhất?
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là đường thẳng có phương trình
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
Tính thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), biết \(AC' = a\sqrt 6 \)
-
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đường thẳng \(d:y = mx + 2\) cắt đồ thị \(\left( C \right):y = \dfrac{{x + 1}}{x}\) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị \(\left( C \right)\)
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2\) là
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 6mx + m\) có hai điểm cực trị.
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(a\sqrt 5 \) và chiều cao bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cân với \(AB//CD\), \(AB = 2a,AD = CD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt đáy là trung điểm của \(AC\). Biết góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(45^\circ \), tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({9^x} - 2m{.3^x} + {m^2} - 8m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 2\). Tính tổng các phần tử của \(S\).
-
Cho \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {\dfrac{1}{5}} \right) = a\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta được thiết diện có diện tích bằng
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). \(\Delta BCD\) vuông cân tại \(D\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Tính theo \(a\) thể tích của tứ diện \(ABCD\).
-
Thể tích của khối cầu có bán kính \(6cm\) là
-
Hàm số \(y = \left( {{x^3} - 3x + 3} \right){e^x}\) có đạo hàm là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AB = a;AD = 2a\), góc giữa \(SC\) và mặt đáy là \(45^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
