Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\)
Suy ra \(A,\,\,G,\,\,M\) thẳng hàng và \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)
\(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\). Suy ra \(I\) nằm trên \(SG\)
Ta có:
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(2a\) nên \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \sqrt 3 a \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)
\(\left\{ \begin{array}{l}SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\)
Do đó, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc giữa \(SM\) và \(AM\) hay \(\widehat {SMA} = 45^\circ \). Suy ra,
\(SG = GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)
\(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) nên \(R = IS = IA = IB = IC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}SI = R \Rightarrow IG = SG - SI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R\\A{G^2} + I{G^2} = A{I^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a - R} \right)^2} = {R^2}\\ \Rightarrow R = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}a\end{array}\)
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{125\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}\)
Đáp án D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Lý Tự Trọng
Câu hỏi liên quan
-
Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Số nghiệm của phương trình \({2.4^{{x^2} + 2x}} + {3.2^{{x^2} + 2x}} - 5 = 0\) là
-
Một người gửi 500 triệu đồng vào một ngân hàng theo kì hạn 1 năm với lãi suất \(8,6\% /\)năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn ba lần số tiền ban đầu? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
-
Giá trị của \({3^{\dfrac{1}{2}}}.\sqrt 3 \) bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là
-
Hàm số \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} + x} \right)^{\dfrac{1}{3}}}\) là
-
Nghiệm của phương trình \({2^x} = 3\) là
-
Trong không gian, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( S \right)\) có tâm \(O\), bán kính \(R = 4a,\) khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( \alpha \right)\) bằng \(2a\). Tính bán kính \(r\) của \(\left( C \right)\).
-
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\ln \left( {{x^2} - 3x} \right) = 0\)
-
Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{m^2}x - 4}}{{4x - 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định?
-
Chiều cao \(h\) của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và thể tích \(V\) được tính theo công thức nào dưới đây?
-
Trong không gian, cho hình chữ nhật \(ABCD\). Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa cạnh \(AB\) thì đường gấp khúc \(ADCB\) tạo thành một hình nào dưới đây?
-
Tập xác định của hàm số \(y = \log \left( {2 - x} \right)\) là
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = 2a,\,\,AC = a\sqrt 2 \) và \(AC' = a\sqrt 3 \) (tham khảo hình bên).
.png)
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:\,\,y = mx + m + 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm \(A,\,B\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng \(2\sqrt 5 \). Tích các phần tử của \(S\) là
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC = a\sqrt 2 \). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) lên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và \(SA = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)(tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối chóp đã cho.
.png)
-
Cho hình trụ có chiều cao \(h = a\) và bán kính đáy \(r = 2a\). Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) liên tục và có đồ thị trên \(\mathbb{R}\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
.png)
