Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {3{m^2} + 2m} \right)x + 1\) (với \(m\) là tham số). Gọi \(\left[ {a;b} \right]\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + 3b\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {3{m^2} + 2m} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {3{m^2} + 2m} \right)\end{array}\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {3{m^2} + 2m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + mx} \right) - \left[ {\left( {3m + 2} \right)x + \left( {3{m^2} + 2m} \right)} \right] \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow x\left( {x + m} \right) - \left( {3m + 2} \right)\left( {x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {x - \left( {3m + 2} \right)} \right]\left( {x + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Nếu \(3m + 2 = - m \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right)\) luôn đúng.
Nếu \(3m + 2 > - m \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3m + 2\\x \le - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3m + 2 \le 4 \Leftrightarrow m \le \dfrac{2}{3}\)
Nếu \(3m + 2 < - m \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 3m + 2\\x \ge - m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {4; + \infty } \right) \Leftrightarrow 4 \ge - m \Leftrightarrow m \ge - 4\)
Vậy \(m \in \left[ { - 4;\dfrac{2}{3}} \right]\) thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)
Do đó, \(T = a + 3b = - 4 + 3.\dfrac{2}{3} = - 2\)
Đáp án D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Lý Tự Trọng
Câu hỏi liên quan
-
Tập xác định của hàm số \(y = \log \left( {2 - x} \right)\) là
-
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(2a\), mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng \(45^\circ \) (tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
.png)
-
Nghiệm của phương trình \({2^x} = 3\) là
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) là
-
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(DC,\,\,DA,\,\,DB\) (tham khảo hình bên). Mặt phẳng nào dưới đây là một mặt phẳng đối xứng của tứ diện đã cho?
.png)
-
Cho số dương \(x\) khác 1. Biểu thức \(\sqrt {{x^3}} :\sqrt[3]{{{x^2}}}\) được viết dưới dạng lũy thừa của \(x\) với số mũ hữu tỉ là
-
Đa diện ở hình bên có bao nhiêu đỉnh?
.png)
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = 2a,\,\,AC = a\sqrt 2 \) và \(AC' = a\sqrt 3 \) (tham khảo hình bên).
.png)
-
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} + x} \right)^{\dfrac{1}{3}}}\) là
-
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC = a\sqrt 2 \). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) lên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) và \(SA = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)(tham khảo hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối chóp đã cho.
.png)
-
Cho \(a,\,\,m\) là 2 số thực thỏa mãn \(0 < a \ne 1\) và \({\log _a}2 = m\). Giá trị của biểu thức \({a^m} + {a^{ - m}}\) bằng
-
Trong không gian, cho hình chữ nhật \(ABCD\). Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa cạnh \(AB\) thì đường gấp khúc \(ADCB\) tạo thành một hình nào dưới đây?
-
Đường cong của hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Gọi \({m_0}\) là giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 2\) có ba điểm cực trị \(A,\,B,\,C\) tạo thành một tam giác sao cho trục \(Ox\) chia tam giác đó thành \(2\) phần có diện tích lần lượt bằng \({S_1},\,\,{S_2}\) và \(\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{1}{3}\), trong đó \({S_2}\) là diện tích của phần nằm dưới \(Ox\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho hai số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({\log _3}x + {\log _3}y = - 1\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Chiều cao \(h\) của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và thể tích \(V\) được tính theo công thức nào dưới đây?
-
Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của một hình nón có bán kính đáy \(R\) và độ dài đường sinh \(l\) được xác định bởi công thức nào dưới đây?
-
Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ có chiều cao \(h = 3\,\,cm\) và diện tích đáy \(B = 10\,\,c{m^2}\)
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 1}}{{2x + 1}}\) (với \(m\) là tham số) thỏa mãn điều kiện \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 3\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = - {x^3} + 2{x^2} + 7x\) là
