Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2,\,\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 6\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx} \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} {f\left( {1 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {f\left( {2x - 1} \right)dx} \)
Đặt \(1 - 2x = t \Rightarrow - 2dx = dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 3\\x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\)
\({I_1} = \int\limits_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} {f\left( {1 - 2x} \right)dx} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_3^0 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}.6 = 3\)
Đặt \(2x - 1 = u \Rightarrow 2dx = du\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)
\({I_2} = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {f\left( {2x - 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \dfrac{1}{2}.2 = 1} \)
\( \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = 3 + 1 = 4\).
Chọn: C
Đề thi HK2 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Trần Quý Cáp
