Cho các vecto \(\vec a\) và \(\vec b\) thỏa mãn \(\left| {\vec a} \right| = 2\), \(\left| {\vec b} \right| = 1\) và \(\left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = {60^0}\). Tính góc giữa vecto \(\vec a\) và vecto \(\vec c = \vec a - \vec b\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left| {\vec a} \right| = 2\), \(\left| {\vec b} \right| = 1\) và \(\left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right) = {60^0}\).
Ta có:
\({\vec c^2} = {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2}\)\( = {\vec a^2} + {\vec b^2} - 2\vec a\vec b\)\( = {\vec a^2} + {\vec b^2} - 2.\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\)\( = {2^2} + {1^2} - 2.2.1.cos{60^0}\) \( = 3\)
\( \Rightarrow \left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 \)
\(\vec a.\vec c = \vec a.\left( {\vec a - \vec b} \right)\)\( = {\vec a^2} - \vec a.\vec b\)\( = {\vec a^2} - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b} \right)\)\( = {2^2} - 2.1.\cos {60^0} = 3\)
Mà \(\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right) = \frac{{\vec a.\vec c}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec c} \right|}}\)\( = \frac{3}{{2.\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \(\cos \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right)\)\( = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow \angle \left( {\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c} \right) = {30^0}\)
Chọn A.
Đề thi HK1 môn Toán 10 Cánh Diều năm 2022-2023
Trường THPT Minh Long
