Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y – 4z = 0$, đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}$ và điểm $A\left( {1;\,\,3;\,\,1} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi $\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,1} \right)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Tính a + 2b.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\;\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{3}$. Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{\alpha _d}}$ có tọa độ là:

Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) qua bốn điểm A(1;2;−4); B(1;−3;1); C(2;2;3) và D(1;0;4).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 4x-z+3 = 0. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình $d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = z - 3$. Véc tơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?

Đường thẳng d đi qua M (2;0;-1) và có véc tơ chỉ phương $\vec a=(4;-6;2)$ có phương trình

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=xe^x, trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB với A(-2;-4;3), B(4;2;0). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {2;1; – 1} \right),B\left( {1;2;3} \right)$. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-1}$và điểm $A(1 ; 3 ;-1)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và đi qua A .

Cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{1} \text { và điểm } A(1 ; 2 ; 1) \text { . }$. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm
I nằm trên d , đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): x-2 y+2 z+1=0 \text { . }$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ và mặt phẳng (P):2x + y + 2z – 1 = 0. Gọi d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P), một véctơ chỉ phương của đường thẳng d’ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng $d: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=z+3$. Phương trình mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng d là
 

Hình chiếu vuông góc của điểm M(1;3;-2) trên đường thẳng $d: \frac{x-3}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{4}$Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?

Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;2), B(−4;2;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x−5y+1=0  có phương trình là

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M (0;-1;4), nhận $[\vec{u}, \vec{v}]$ làm vectơ pháp tuyến với $\vec{u}=(3 ; 2 ; 1)$ và $\vec{v}=(-3 ; 0 ; 1)$. Phương trình tổng quát của (P) là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z + 9 = 0. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: (P): x + 2y - z + 1 = 0, (Q): x + y + 2z + 3 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh $A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0),C(0 ; 0 ; 6), D(2 ; 4 ; 6)$ .Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Viết phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu (S)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(-2 ; 1 ; 1) \text { và } B(0 ;-1 ; 1)$ Viết phương trình mặt cầu đường kính AB .