Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {1;\, – 3;\,\,4} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z – 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):3x – 5y – z + 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua M, song song với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - 4\cos t} \right)x - 2\left( {4\sin t + 1} \right)y - 4z - 5 - 2{\sin ^2}t = 0,\,\,t \in R\).

Mặt phẳng đi qua A(2;3;1) và giao tuyến hai mặt phẳng \(x+y=0 \text { và } x-y+z+4=0\) có phương trình là.

Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x+2y-z+1 = 0.

Phương trình mặt cầu tâm I(1;2;- 3) bán kính R =2 là

Tính tích có hướng của cặp vectơ sau: \(\overrightarrow{a}=\left( 1;0;-2 \right);\overrightarrow{b}=\left( 0;1;3 \right).\)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x – y + 2z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\,\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}; {d_2}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\,\,\). Xét các điểm A, B lần lượt di động trên \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho AB song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\,(2;0;-2);\,\,B\,(3;-1;-4);\,\,C\,(-2;2;0).\) Điểm D nằm trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là

Trong không gian Oxyz , mp (P)đi qua \(A(1 ;-2 ; 3)\) và vuông góc với đường thẳng \((d): \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{3}\) có phương trình là.
 

Trong không gian Oxyz , đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là

Mặt cầu (S) có tâm I(1 ;-3 ; 2) và đi qua A(5 ;-1 ; 4) có phương trình

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 3}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ – 5}}\) và \(d’:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 4}}{{ – 2}} = \frac{{z – 4}}{{ – 1}}\).

Tính khoảng cách giữa \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 2 + 3t'}\\{z = 3t'}\end{array}} \right.\)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.MNPQ tâm I, biết \(A(\,0;\,1;\,2),\,\,B(\,1;\,0;\,1),\,\,C(\,2;\,0;\,1)\) và \(Q(\, – 1;\,0;\,1)\). Đường thẳng qua I, song song với AC có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

(x − 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz ,  tính  bán  kính R của mặt cầu đi qua  4  điểm A(1; 0;0), B (0; -2; 0), C (0; 0; 4) và gốc tọa độ  O

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right), B\left( {4\,;\,4\,;\,5} \right), C\left( {0\,;\,0\,;\,3} \right)\). Trọng tâm G của tam giác ABC cách mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\) một khoảng bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của Oz ?

Trong không gian Oxyz , đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d: \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}\) và \(d^{\prime}: \frac{x+1}{3}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{-1}\) có phương trình:
 

Trong không gian Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng 2x-3y+6z-19=0 có phương trình là
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S)có phương trình \(x^2+y^2+z^2- 2x - 4 y - 6z + 5 = 0\) . Trong các số dưới đây, số nào là diện tích của mặt cầu  (S ) ?