Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y – z + 3 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + y + z – 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có phương trình chính tắc là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2\,;1\,; – 1} \right)\).
\(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1\,;1\,;1} \right)\). Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2\,; – 3\,;1} \right)\).
Vì đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2\,; – 3\,;1} \right).\)
Gọi M là giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\), thì \(M \in \Delta \) và tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y – z + 3 = 0\\x + y + z – 1 = 0\end{array} \right.\) , cho x = 0 ta được hệ sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y – z + 3 = 0\\y + z – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = – 1\\z = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {0\,; – 1\,;2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {0\,; – 1\,;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,; – 3\,;1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 3}} = \frac{{z – 2}}{1}.\)
